Ordin (teoria grupurilor)

În teoria grupurilor, conceptul de ordin este utilizat cu următoarele semnificații:

  • ordinul unui grup , notat sau , este numărul elementelor grupului. Dacă G are o infinitate de elemente
  • ordinul unui element dintr-un grup : definit în cazul în care există un m natural nenul cu proprietatea unde e este elementul neutru al grupului.

Ordinul unui elementModificare

Definiție. Fie grupul   și e elementul neutru. Elementul   este de ordin finit dacă:

 

În acest caz,

 

se numește ordinul elementului  .

Elementul   este de ordin infinit dacă a nu este de ordin finit.

Teoremă. Fie grupul   și  

  • Dacă   atunci elementele   sunt distincte două câte două și  
  •  

ProprietățiModificare

1. Fie grupul   Dacă     și    atunci    și

 

unde   este subgrupul generat de elementul a.

2. Grupul finit    de ordinul   este ciclic[1]    are un element de ordinul n.

3. Fie grupul    Dacă    și      atunci  

Demonstrație. Conform teoremei împărțirii cu rest, există și sunt unice numerele întregi q, r cu proprietățile:     și    

Atunci    și cum      rezultă    deci     adică    

4. Orice element al unui grup finit are ordinul finit.

5. Orice două grupuri ciclice de același ordin sunt izomorfe. Dacă G este un grup ciclic de ordinul n, atunci  

6. Orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

7. Dacă    atunci:

a)  

b)  

Demonstrație.

a) I. Dacă    atunci     și   

Fie     Din proprietatea 3 rezultă    

Cum      rezultă că      și cum      din proprietatea 3 rezultă că      Așadar    

II. Dacă     se va presupune că       Atunci din cazul anterior rezultă că      fals. Așadar    

b) I. Dacă     atunci     așadar     și    

Dar     și cum     rezultă și     și deci    

II. Dacă     presupunând că     rezultă ca mai înainte că     fals. Așadar    

Se observă că afirmația anterioară este adevărată și în cazul izomorfismelor de grupuri, ceea ce întărește imaginea intuitivă că elementele asociate printr-un izomorfism au aceleași proprietăți.

9. Fie grupul     și     cu     astfel încât     Notăm cu     Atunci:

a)   

b)   

Demonstrație. Se știe că dacă     atunci    

a) Se ține cont că     și     cu     iar    Mai departe:

 

de unde, conform consecinței 3,     unde     Acum se demonstrează că    

   și, conform consecinței 3,   
 

Analog rezultă că     și cum     se obține    

ObservațiiModificare

a)    

b) Dacă     și     atunci    

c) Există situații când    

De exemplu, în grupul     și    


10. Fie grupul     și     Atunci:

a)    

b)    

11. Fie     un grup ciclic de ordinul     și    

Atunci:     este generator al grupului    

NoteModificare

  1. ^ Un grup   se numește ciclic de ordinul n dacă există un element    astfel încât    În acest caz, elementul x se numește generator al grupului   

Vezi șiModificare