Funcție simetrică

funcție care ia aceeași valoare la orice permutare a variabilelor sale

În matematică, o funcție de variabile este simetrică dacă valoarea ei este aceeași, indiferent de ordinea argumentelor sale. De exemplu, o funcție de două argumente este o funcție simetrică dacă și numai dacă pentru toate și astfel încât și sunt în domeniul lui Cele mai frecvent întâlnite funcții simetrice sunt funcțiile polinomiale, care sunt date de polinoamele simetrice⁠(d).

Simetrizare

modificare

Fiind dată o funcție   cu   variabile, cu valori într-un grup abelian, o funcție simetrică poate fi construită prin însumarea valorilor lui   peste toate permutările argumentelor. Similar, o funcție antisimetrică poate fi construită prin însumarea permutărilor pare și scăderea permutărilor impare. Aceste operații nu sunt inversabile și ar putea avea ca rezultat o funcție care este zero pentru funcțiile netriviale   Singurul caz general în care   poate fi dedusă dacă se cunosc atât simetrizarea cât și antisimetrizarea este atunci când   și grupul abelian admite o împărțire cu 2 (inversa dublării); atunci   este egală cu jumătate din suma simetrizării și antisimetrizării sale.

 
Prin definiție, o funcție simetrică cu   variabile are proprietatea că
 
În general, funcția rămâne aceeași pentru orice permutare a variabilelor sale. Aceasta înseamnă că în acest caz
 
și așa mai departe pentru toate permutările lui  
  • Fie funcția
 
Dacă   și   sunt interschimbate, funcția devine
 
care dă exact aceleași rezultate ca și funcția inițială  
  • Fie acum funcția
 
Dacă   și   sunt interschimbate, funcția devine
 
Această funcție nu este aceeași cu cea inițială dacă   ceea ce o face nesimetrică.

Bibliografie

modificare
  • en F. N. David, M. G. Kendall, D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
  • en Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN: 978-0-521-73794-4.