Funcție simetrică

În matematică, o funcție de $n$ variabile este simetrică dacă valoarea ei este aceeași, indiferent de ordinea argumentelor sale. De exemplu, o funcție $f\left(x_{1},x_{2}\right)$ de două argumente este o funcție simetrică dacă și numai dacă $f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)$ pentru toate $x_{1}$ și $x_{2}$ astfel încât $\left(x_{1},x_{2}\right)$ și $\left(x_{2},x_{1}\right)$ sunt în domeniul lui $f.$ Cele mai frecvent întâlnite funcții simetrice sunt funcțiile polinomiale, care sunt date de polinoamele simetrice^⁠(d).

Simetrizare

Fiind dată o funcție $f$ cu $n$ variabile, cu valori într-un grup abelian, o funcție simetrică poate fi construită prin însumarea valorilor lui $f$ peste toate permutările argumentelor. Similar, o funcție antisimetrică poate fi construită prin însumarea permutărilor pare și scăderea permutărilor impare. Aceste operații nu sunt inversabile și ar putea avea ca rezultat o funcție care este zero pentru funcțiile netriviale $f.$ Singurul caz general în care $f$ poate fi dedusă dacă se cunosc atât simetrizarea cât și antisimetrizarea este atunci când $n=2$ și grupul abelian admite o împărțire cu 2 (inversa dublării); atunci $f$ este egală cu jumătate din suma simetrizării și antisimetrizării sale.

Exemple

• Fie funcția reală

$f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).$

Prin definiție, o funcție simetrică cu $n$ variabile are proprietatea că

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}$

În general, funcția rămâne aceeași pentru orice permutare a variabilelor sale. Aceasta înseamnă că în acest caz

$(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})$

și așa mai departe pentru toate permutările lui $x_{1},x_{2},x_{3}.$

• Fie funcția

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.$

Dacă $x$ și $y$ sunt interschimbate, funcția devine

$f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},$

care dă exact aceleași rezultate ca și funcția inițială $f(x,y).$

• Fie acum funcția

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.$

Dacă $x$ și $y$ sunt interschimbate, funcția devine

$f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.$

Această funcție nu este aceeași cu cea inițială dacă $a\neq b,$ ceea ce o face nesimetrică.

Bibliografie

• en F. N. David, M. G. Kendall, D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
• en Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN: 978-0-521-73794-4.