Determinant (matematică)

Determinantul este, în algebră, o funcție care atribuie oricărei matrici pătrate un număr.

Primele aplicații: arii și volume

Determinantul unei matrici 2×2

Fie matricea de tip 2×2: $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

determinantul acesteia este:

\det(A)=ad-bc\

Interpretare vectorială

Determinantul vectorilor X și X' este dat de expresia analitică:

\det(X,X')={\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}}=xy'-yx'

ceea ce este echivalent cu expresia geometrică:

\det(X,X')=\|X\|\cdot \|X'\|\cdot \sin \theta

unde $\theta$ este unghiul orientat format de vectorii X și X '.

Determinantul unei matrici 3×3

Fie matricea de tip 3×3:

A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}

Dezvoltând după prima linie, obținem: ${\begin{aligned}\det(A)&=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg\\&=(aei+bfg+cdh)-(gec+hfa+idb),\end{aligned}}$

Interpretare geometrică

Dacă X(a,b,c), Y(d,e,f), Z(g,h,i) sunt trei vectori orientați, atunci volumul paralelipipedului determinat de aceștia este:

$\det(X,Y,Z)={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}$ .

Proprietăți

Determinantul unei matrice $\mathrm {A}$ este egal cu determinantul matricei transpuse ${}^{t}\!A:det(A)=det({}^{t}\!A)$ .
Dacă într-o matrice pătratică se schimbă între ele două linii (sau coloane) se obține o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
Dacă elementele unei linii (sau coloane) a matricei $\mathrm {A}$ se înmulțesc cu un număr ${\mbox{k}}$ , se obține o matrice $\mathrm {C}$ al cărei determinant este egal cu $k*det(A)$ .
Dacă elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice pătratică sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.
Dacă o matrice are două linii (coloane) identice, atunci determinantul ei este nul.
Consecință:
Fie $d=|a_{i,j}|_{n}$ un determinant de ordinul ${\mbox{n}}$ . Pentru orice $i\neq \;j$ au loc egalitățile:
1. $a_{i1}\delta _{j1}+a_{i2}\delta _{j2}+...+a_{in}\delta _{jn}=0$
2. $a_{1j}\delta _{1i}+a_{2j}\delta _{2i}+...+a_{nj}\delta _{ni}=0$

Vezi și

Bibliografie

Ion, I. D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
Henri Cartan, Cours de calcul différentiel, Paris, Hermann, 1977