Axioma lui Arhimede
A nu se confunda cu principiul lui Arhimede din hidrostatică!
Axioma lui Arhimede reprezintă o proprietate specifică anumitor grupuri și corpuri din teoria structurilor algebrice.
Alte denumiri:
- Lema (proprietatea) lui Arhimede
- Axioma continuității
- Axioma (teorema) lui Eudoxus.
Istoric
modificareAtribuit lui Arhimede (sec. III î.Hr.), axioma se regăsește în scrierile lui Eudoxus (secolul al IV-lea î.Hr. - Boyer & Merzbach, 1991), iar termenul este introdus de matematicianul austriac Otto Stolz în 1883.
Enunț
modificareTeoremă (principiul sau axioma lui Arhimede). Pentru orice numere reale cu există cu
Pentru a demonstra proprietatea lui Arhimede, se utilizează următoarea teoremă:
Teoremă. Pentru orice număr real x există un număr natural m astfel încât să avem:
Demonstrație. Fie fixat. Presupunem că pentru orice În consecință, mulțimea este mărginită deci ar admite o margine superioară Din definiția marginii superioare, rezultă că există cu de unde avem că absurd deoarece este inductivă (aceasta provine chiar din axiomele mulțimii ) și ca atare Așadar există un cu
Fie mulțimea:
Mulțimea A este mărginită inferior deci există cu Din definiția infimumului există pentru un un cu Fie arbitrar. Evident nu putem avea Așadar avem fie fie În prima situație ar rezulta că absurd. Așadar pentru orice avem ceea ce înseamnă că întrucât rezultă că iar dacă am avea ar rezulta că deci nu ar mai fi absurd. Așadar avem și relația
Acum pentru demonstrarea proprietății lui Arhimede, se vor considera cazurile:
- , atunci se ia
- Având în vedere că putem aplica teorema precedentă.
Deci există cu de unde rezultă axioma lui Arhimede.
Legături externe
modificare- WolframAlpha.com Arhivat în , la Wayback Machine.