A nu se confunda cu principiul lui Arhimede din hidrostatică!

Axioma lui Arhimede reprezintă o proprietate specifică anumitor grupuri și corpuri din teoria structurilor algebrice.

Alte denumiri:

  • Lema (proprietatea) lui Arhimede
  • Axioma continuității
  • Axioma (teorema) lui Eudoxus.

Atribuit lui Arhimede (sec. III î.Hr.), axioma se regăsește în scrierile lui Eudoxus (secolul al IV-lea î.Hr. - Boyer & Merzbach, 1991), iar termenul este introdus de matematicianul austriac Otto Stolz în 1883.

Teoremă (principiul sau axioma lui Arhimede). Pentru orice numere reale   cu   există   cu  

Pentru a demonstra proprietatea lui Arhimede, se utilizează următoarea teoremă:

Teoremă. Pentru orice număr real x există un număr natural m astfel încât să avem:

 

Demonstrație. Fie   fixat. Presupunem că   pentru orice   În consecință, mulțimea   este mărginită deci ar admite o margine superioară   Din definiția marginii superioare, rezultă că există   cu   de unde avem că   absurd deoarece   este inductivă (aceasta provine chiar din axiomele mulțimii  ) și ca atare   Așadar există un   cu  

Fie mulțimea:

 

Mulțimea A este mărginită inferior deci există   cu   Din definiția infimumului există pentru un   un   cu   Fie   arbitrar. Evident nu putem avea   Așadar avem fie   fie   În prima situație ar rezulta că   absurd. Așadar pentru orice   avem   ceea ce înseamnă că   întrucât   rezultă că   iar dacă am avea   ar rezulta că   deci   nu ar mai fi   absurd. Așadar avem și relația  

Acum pentru demonstrarea proprietății lui Arhimede, se vor considera cazurile:

  •  , atunci se ia  
  •   Având în vedere că   putem aplica teorema precedentă.

Deci există   cu   de unde rezultă axioma lui Arhimede.

Legături externe

modificare