La stânga și la dreapta

$s a$ $s b$ $s c$ $s d$ $s e$ $s f$ $s g$ …	$a t$ $b t$ $c t$ $d t$ $e t$ $f t$ $g t$ …
Înmulțire la stânga cu $s$ și înmulțire la drepta cu $t$ . O notație abstractă fără vreun sens particular.

În algebră termenii la stânga și la dreapta^[1]^[2] arată ordinea unei operații binare (de obicei, dar nu întotdeauna, numită „înmulțire”) în structuri algebrice necomutative. O operație binară $*$ este de obicei scrisă în forma infixată:

s*t

Argumentul $s$ este plasat în partea stângă, iar argumentul $t$ este în partea dreaptă. Dacă ∗ nu este comutativă, atunci ordinea lui $s$ și $t$ contează, chiar dacă simbolul operației este omis.

O proprietate bilaterală este îndeplinită pe ambele părți. O proprietate unilaterală este legată de una dintre cele două laturi, nespecificat care.

Deși termenii sunt similari, în limbajul algebric distincția la stânga / la dreapta nu este legată nici de limitele la stânga sau la dreapta^⁠(d) din analiză, nici cu stânga și dreapta din geometrie.

Operația binară ca operator modificare

O operație binară $*$ poate fi considerată o familie parametrică de operatori unari prin evaluarea succesivă a operatorilor:

R_{t}(s)=s*t,

în funcție de $t$ ca parametru – aceasta este familia de operații la dreapta. Similar,

L_{s}(t)=s*t

definește familia de operații la stânga parametrizate cu $s$ .

Dacă pentru unele $e$ , operația la stânga $L_{e}$ este operația de identitate, atunci $e$ se numește element neutru la stânga. Similar, dacă $R_{e}=id$ , atunci $e$ este element neutru la dreapta.

În teoria inelelor^⁠(d) un subinel care este invariant^⁠(d) pentru orice înmulțire la stânga într-un inel se numește ideal stâng. Similar, un subinel invariant pentru orice înmulțire la dreapta un ideal drept.^[3]

Module la stânga și la dreapta modificare

Peste inele necomutative^⁠(d), distincția stânga-dreapta se aplică modulelor^⁠(d), și anume pentru a specifica partea în care apare un scalar (element de modul) în înmulțirea cu un scalar.

Modul la stânga	Modul la dreapta
$s (x + y) = s x + s y$ $(s 1 + s 2) x = s 1 x + s 2 x$ $s (t x) = (s t) x$	$(x + y) t = x t + y t$ $x (t 1 + t 2) = x t 1 + x t 2$ $(x s) t = x (s t)$

Distincția nu este pur sintactică, deoarece se obțin două reguli de asociativitate diferite (cele din rândul de jos din tabel) care leagă înmulțirea într-un modul cu înmulțirea într-un inel.

În teoria categoriilor modificare

În teoria categoriilor expresia „la stânga este ca la dreapta” are o oarecare asemănare cu limbajul algebric, dar se referă la partea din stânga, respectiv din dreapta a morfismelor.