Relație de ordine

În matematică, o relație de ordine, numită și relație de ordine parțială (sau ordine sau ordine parțială), este orice relație binară reflexivă, antisimetrică și tranzitivă pe o mulțime. Două elemente în relație (în orice ordine) unul cu altul se numesc comparabile.

Definiție

O relație binară $\preceq \subseteq A\times A$ pe o mulțime $A$ se numește relație de ordine dacă îndeplinește următoarele proprietăți:

• reflexivitate: $\forall x\in A\,,\ x\preceq x$
• antisimetrie: $\forall x,y\in A$, dacă $x\preceq y$ și $y\preceq x$ atunci $x=y$
• tranzitivitate: $\forall x,y,z\in A$, dacă $x\preceq y$ și $y\preceq z$ atunci $x\preceq z$

Termeni folosiți

Dacă M este o submulțime nevidă a lui A ($M\subseteq A$, $M\neq \emptyset$), un element $a\in A$ se numește:

• majorant al lui M dacă $\forall b\in M\,,\ b\preceq a$. O mulțime care are un majorant se numește majorată sau mărginită superior.
• minorant al lui M dacă $\forall b\in M\,,\ a\preceq b$. O mulțime care are un minorant se numește minorată sau mărginită inferior
• maximul lui M dacă este majorant al lui M și aparține lui M. Dacă o mulțime are un maxim, acesta este unic.
• minimul lui M dacă este minorant al lui M și aparține lui M. Dacă o mulțime are un minim, acesta este unic.
• supremumul sau marginea superioară a lui M dacă a este minimul mulțimii majoranților lui M.
• infimumul sau marginea inferioară a lui M dacă a este maximul mulțimii minoranților lui M.

Exemple

• Incluziunea mulțimilor este o relație de ordine pe orice mulțime de mulțimi.
• Relația de divizibilitate este o relație de ordine pe mulțimea numerelor naturale. În această relație, 1 este minimul mulțimii numerelor naturale, iar 0 este maximul.
• Relația de ordine între funcții: $f\leq g$ dacă $\forall x\in D\,,\ f(x)\leq g(x)$, unde D este domeniul de definiție comun al funcțiilor f și g, iar relația $\leq$ din partea dreaptă este o relație de ordine pe codomeniul comun al funcțiilor.

Tipuri speciale de relații de ordine

Ordine totală

Articol principal: Relație de ordine totală.

O relație de ordine în care orice două elemente sunt comparabile, adică

$\forall x,y\in A$, $x\preceq y$ sau $y\preceq x$

se numește relație de ordine totală. Ordinea obișnuită între numere este o ordine totală.

Bună ordonare

O relație de ordine totală în care în plus orice submulțime nevidă admite un minim se numește relație de bună ordonare, iar mulțimea pe care s-a stabilit relația se numește mulțime bine ordonată. De exemplu, mulțimea numerelor naturale este bine ordonată.

Latici

Articol principal: Latice (matematică).

Dacă orice submulțime finită admite un infimum și un supremum, mulțimea A împreună cu relația de ordine se numește latice. De exemplu, mulțimea submulțimilor unei mulțimi împreună cu relația de incluziune formează o latice.