Deschide meniul principal

În matematică, o relație de ordine, numită și relație de ordine parțială (sau ordine sau ordine parțială), este orice relație binară reflexivă, antisimetrică și tranzitivă pe o mulțime. Două elemente în relație (în orice ordine) unul cu altul se numesc comparabile.

DefinițieModificare

O relație binară   pe o mulțime   se numește relație de ordine dacă îndeplinește următoarele proprietăți:

  • reflexivitate:  
  • antisimetrie:  , dacă   și   atunci  
  • tranzitivitate:  , dacă   și   atunci  

Termeni folosițiModificare

Dacă M este o submulțime nevidă a lui A ( ,  ), un element   se numește:

  • majorant al lui M dacă  . O mulțime care are un majorant se numește majorată sau mărginită superior.
  • minorant al lui M dacă  . O mulțime care are un minorant se numește minorată sau mărginită inferior
  • maximul lui M dacă este majorant al lui M și aparține lui M. Dacă o mulțime are un maxim, acesta este unic.
  • minimul lui M dacă este minorant al lui M și aparține lui M. Dacă o mulțime are un minim, acesta este unic.
  • supremumul sau marginea superioară a lui M dacă a este minimul mulțimii majoranților lui M.
  • infimumul sau marginea inferioară a lui M dacă a este maximul mulțimii minoranților lui M.

ExempleModificare

  • Incluziunea mulțimilor este o relație de ordine pe orice mulțime de mulțimi.
  • Relația de divizibilitate este o relație de ordine pe mulțimea numerelor naturale. În această relație, 1 este minimul mulțimii numerelor naturale, iar 0 este maximul.
  • Relația de ordine între funcții:   dacă  , unde D este domeniul de definiție comun al funcțiilor f și g, iar relația   din partea dreaptă este o relație de ordine pe codomeniul comun al funcțiilor.

Tipuri speciale de relații de ordineModificare

Ordine totalăModificare

O relație de ordine în care orice două elemente sunt comparabile, adică

 ,   sau  

se numește relație de ordine totală. Ordinea obișnuită între numere este o ordine totală.

Bună ordonareModificare

O relație de ordine totală în care în plus orice submulțime nevidă admite un minim se numește relație de bună ordonare, iar mulțimea pe care s-a stabilit relația se numește mulțime bine ordonată. De exemplu, mulțimea numerelor naturale este bine ordonată.

LaticiModificare

Dacă orice submulțime finită admite un infimum și un supremum, mulțimea A împreună cu relația de ordine se numește latice. De exemplu, mulțimea submulțimilor unei mulțimi împreună cu relația de incluziune formează o latice.