Relație de ordine
În matematică, o relație de ordine, numită și relație de ordine parțială (sau ordine sau ordine parțială), este orice relație binară reflexivă, antisimetrică și tranzitivă pe o mulțime. Două elemente în relație (în orice ordine) unul cu altul se numesc comparabile.
DefinițieModificare
O relație binară pe o mulțime se numește relație de ordine dacă îndeplinește următoarele proprietăți:
- reflexivitate:
- antisimetrie: , dacă și atunci
- tranzitivitate: , dacă și atunci
Termeni folosițiModificare
Dacă M este o submulțime nevidă a lui A ( , ), un element se numește:
- majorant al lui M dacă . O mulțime care are un majorant se numește majorată sau mărginită superior.
- minorant al lui M dacă . O mulțime care are un minorant se numește minorată sau mărginită inferior
- maximul lui M dacă este majorant al lui M și aparține lui M. Dacă o mulțime are un maxim, acesta este unic.
- minimul lui M dacă este minorant al lui M și aparține lui M. Dacă o mulțime are un minim, acesta este unic.
- supremumul sau marginea superioară a lui M dacă a este minimul mulțimii majoranților lui M.
- infimumul sau marginea inferioară a lui M dacă a este maximul mulțimii minoranților lui M.
ExempleModificare
- Incluziunea mulțimilor este o relație de ordine pe orice mulțime de mulțimi.
- Relația de divizibilitate este o relație de ordine pe mulțimea numerelor naturale. În această relație, 1 este minimul mulțimii numerelor naturale, iar 0 este maximul.
- Relația de ordine între funcții: dacă , unde D este domeniul de definiție comun al funcțiilor f și g, iar relația din partea dreaptă este o relație de ordine pe codomeniul comun al funcțiilor.
Tipuri speciale de relații de ordineModificare
Ordine totalăModificare
O relație de ordine în care orice două elemente sunt comparabile, adică
- , sau
se numește relație de ordine totală. Ordinea obișnuită între numere este o ordine totală.
Bună ordonareModificare
O relație de ordine totală în care în plus orice submulțime nevidă admite un minim se numește relație de bună ordonare, iar mulțimea pe care s-a stabilit relația se numește mulțime bine ordonată. De exemplu, mulțimea numerelor naturale este bine ordonată.
LaticiModificare
Dacă orice submulțime finită admite un infimum și un supremum, mulțimea A împreună cu relația de ordine se numește latice. De exemplu, mulțimea submulțimilor unei mulțimi împreună cu relația de incluziune formează o latice.