Număr natural

(Redirecționat de la Numere naturale)
Câteva numere naturale.

În matematică, numerele naturale sunt numerele întregi strict pozitive (1, 2, 3, …). În alte contexte, de exemplu în teoria mulțimilor sau în teoria grupurilor, 0 este primul număr natural. Mulțimea tuturor numerelor naturale se notează de obicei cu N (N îngroșat) sau .

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ
  • - numere naturale
  • - întregi
  • - raționale
  • - reale
  • - complexe

Numerele naturale au două întrebuințări importante: sunt folosite pentru numărare („sunt 3 mere pe masă”) și pentru aranjarea în ordine a unei colecții de obiecte („obiectul numărul 1”, „obiectul numărul 2” etc.).

Disciplina care studiază proprietățile numerelor naturale cu privire la divizibilitate este teoria numerelor.

În cadrul matematicii apartenența lui 0 la numerele naturale, este disputată, fiind acceptată în algebră și teoria mulțimilor dar nu în analiză matematică.

Istoria numerelor naturaleModificare

Numerele naturale își au originea în cuvintele folosite pentru a număra obiecte, începând cu numărul unu.

Primul pas important pentru abstractizare a fost folosirea numeralelor pentru reprezentarea numerelor. Acest lucru a dus la dezvoltarea unor sisteme de înregistrare a numerelor mari. De exemplu, babilonienii dezvoltaseră un sistem puternic bazat pe numerele de la 1 la 10. În Egiptul Antic există un sistem de numere cu hieroglife diferite pentru 1, 10 și toate puterile lui 10 până la un milion.

Definiția numerelor naturaleModificare

Numerele naturale au fost prima dată definite axiomatic de Giuseppe Peano, în 1905, ca respectând următoarele axiome[1][2]:

  •   este număr natural.
  • Dacă n este număr natural, atunci și succesorul lui   (  sau  ) este număr natural.
  •   nu este succesorul niciunui număr.
  • Dacă   atunci și  .
  • Dacă o submulțime   a mulțimii numerelor naturale satisface primele două condiții, atunci aceasta este chiar mulțimea numerelor naturale.

În ramura matematicii cunoscută drept teoria mulțimilor se poate realiza următoarea construcție, propusă de John von Neumann[3][4]:

  • Definim  , mulțimea vidă.
  • Definim  , mulțimea ce îl conține toate elementele din   și pe  .
  • Și atunci numerele naturale vor fi următoarele mulțimi:
 0={}
 1={{}}
 2={{},{{}}}
 3={{},{{}},{{},{{}}}}
 ...

De asemenea putem defini mulțimea numerelor naturale pornind de la mulțimea   a numerelor reale.

Definiția 1. Fie ℝ sistemul de numere reale și A o submulțime nevidă. Spunem că A este inductivă dacă pentru orice   rezultă  

Se observă că:

  • Mulțimea   este inductivă.
  • Intersecția oricărei familii de mulțimi inductive ce conțin pe 0 este de asemenea inductivă.

Definiția 2. Fie   familia de mulțimi inductive conținând numărul real 0. Mulțimea   definită ca intersecția tuturor elementelor lui   se numește mulțimea numerelor naturale.

NoteModificare

  1. ^ G.E. Mints (originator), „Peano axioms”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, în cooperare cu Societatea Europeană de Matematică, accesat în  
  2. ^ Hamilton (1988) le numește „Postulate lui Peano” și începe cu "1.  0 e un număr natural." (p. 117f)
    Halmos (1960) folosește limbajul teoriei mulșțimilor pentru a enunța cele 5 axiome. Începe cu "(I)  0 ∈ ω (unde, desigur, 0 = ∅" (ω e mulțimea tuturor numerelor). (p. 46)
    Morash (1991) Oferă „axiomă în două părți” în care numerele naturale încep de la 1. (Secțiunea 10.1: An Axiomatization for the System of Positive Integers)
  3. ^ Von Neumann (1923)
  4. ^ Levy (1979), p. 52 Levy atribuie idea lucrărilor nepublicate ale lui Zermelo din 1916 și mai multe lucrări ale lui von Neumann din 1920.


  MatematicăTeoria numerelor --- Matematică discretă (categorie)
Matematicieni specializați în Teoria numerelor (categorie)

 • •    • •    • •    • •    • •    • •    • •    • •