Deschide meniul principal
Reprezentarea geometrică a z și a conjugatului său în planul complex.

În matematică, planul complex sau planul z este o reprezentare geometrică a numerelor complexe într-un plan definit de axa reală și axa imaginară, ortogonale. El poate fi asemuit planului cartezian, cu reprezentarea părții reale a uni număr complex de-a lungul axei x, iar a părții imaginare de-a lungul axei y.

Conceptul de plan complex permite interpretarea geometrică și trigonometrică a numerelor complexe. În figura alăturată, distanța de-a lungul liniei albastre de la origine până la punctul z este modulul lui z, iar unghiul φ este argumentul lui z. Adunarea a două numere complexe se face la fel ca adunarea vectorilor. În coordonate polare, la produsul a două numere complexe modulul produsului este produsul modulelor, iar argumentul produsului este suma argumentelor celor două numere. În particular, multiplicarea unui număr complex cu modul 1 este o rotație. Numerele complexe de modul unu sunt situate pe un cerc trigonometric. Totalitatea sau mulțimea numerelor complexe de același modul și argumente din intervalul [0, 2π] diferite constituie un loc geometric ca cerc de rază egală cu modulul numărului.

Uneori planul complex este numit și planul Argand deoarece este folosit în diagramele Argand. Acestea sunt numite după Jean Robert Argand (1768–1822).[1] Folosită pentru vizualizarea liniei complexe, diagrama Argand se bazează pe faptul că un număr complex poate fi reprezentat ca o pereche de numere reale. Riguros spus: corpul numerelor complexe (linia complexă) este un spațiu vectorial de dimensiune doi (planul real) peste sub-corpul numerelor reale.

Linie complexă.png

Linia complexă, ca orice altă linie, este deteminată (coordonatizată) de două puncte 0 și 1. Diferență dintre planul real și linia complexă apare din faptul că planul real are nevoie de trei puncte pentru a fi determinat (coordonatizat) : (0,0), (1,0) și (0,1).

Însă o dată stabilită polarizarea lui i (cu plus sau cu minus) și asocierea lui cu (0,1), planul real, în înțelesul geometric, oferă o bună reprezentare pentru numerele complexe.

Diferența dintre planul real și linia complexă apare mai evident atunci când se completează cele două structuri până la proiectivitate:

  • pentru a deveni un plan proiectiv, planul real mai are nevoie în plus de o linie (a orizontului) și de un punct „la infinit”.
  • pentru a deveni o linie proiectivă complexă (corp complet), linia proiectivă mai are nevoie de un singur punct „la infinit”.
Consecință

În consecință, orice teoremă din geometria plană clasică trebuie să aibă și o demonstrație cu numere complexe, alături de una analitică și una vectorială.

ExempleModificare

NoteModificare

  1. ^ en Whittaker & Watson, 1927, p. 9

Legături externeModificare