Formula lui Euler

Formula lui Euler sau reprezentarea exponențială a unui număr complex spune că orice număr real x poate fi asociat unui număr complex de pe cercul unitate:

unde

este baza logaritmului natural
este unitatea imaginară
și sunt funcțiile trigonometrice cu argumentul exprimat în radiani.

Richard Feynman a numit formula lui Euler "bijuteria noastră" și "cea mai remarcabilă formulă din matematică".[1]

Pentru cazul particular x = π este valabilă identitatea:

care combină într-o formulă simplă cele cinci numere fundamentale i, π, e,1 și 0.

IstoricModificare

Roger Cotes în 1714 dădea un argument geometric intuitiv pentru formula lui Euler sub formă logaritmică:

 

(unde "ln" înseamnă logaritm natural, adică logaritm în bază e)[2][3].

Prima demonstrație a egalității în forma ei actuală datează din 1748, Euler bazându-și demonstrația pe egalitatea seriilor infinite din ambele părți ale egalității. Roger Cotes, prin argumentul său geometric, intuia oarecum reprezentarea geometrică a formulei bazată pe reprezentarea numerelor complexe ca puncte din planul complex, apărută ulterior abia după 50 de ani.

Euler considera firesc să prezinte studenților numerele complexe mult mai devreme decât se practică astăzi. În manualul său Elemente de Algebră, el introduce aceste numere aproape de la început și le folosește de-a lungul întregii lucrări.

Aplicații în teoria numerelor complexeModificare

 
Ilustrare a formulei lui Euler

Formula lui Euler, numită astfel după Leonhard Euler, este o formulă matematică din analiza complexă care arată o relație strânsă între funcțiile trigonometrice și funcția exponențială complexă. (Identitatea lui Euler este un caz particular al formulei lui Euler.)

Această formulă poate fi interpretată spunând că funcția eix trasează cercul unitate din planul numerelor complexe când x ia valori reale. Aici, x este unghiul dintre o dreaptă care leagă originea cu un punct pe cercul unitate și axa reală pozitivă, măsurată în sens trigonometric în radiani. Formula este validă doar dacă sin și cos au argumentele exprimate în radiani, nu în grade.

Demonstrația originală se bazează pe dezvoltările în serie Taylor ale funcțiilor exponențială ez (cu z complex), sin x și cos x pentru numere reale x. De fapt, aceeași demonstrație arată că formula lui Euler este valabilă și pentru toate numerele complexe z.

Formula lui Euler poate fi folosită pentru a reprezenta numerele complexe în coordonate polare. Orice număr complex z = x + iy poate fi scris sub forma

 
 

unde

  partea reală
  partea imaginară
  modulul lui z

și   este argumentul lui z— unghiul între axa x și vectorul z măsurat în sens trigonometric și în radiani — definit până la 2π.

Acum, luând această formulă derivată, se poate folosi formula lui Euler pentru a defini logaritmul unui număr complex. Pentru a face asta, se folosește și faptul că

 

și

 

ambele valabile pentru numerele complexe a și b.

De aceea se poate scrie:

 

pentru orice  . Scoțând logaritm din ambele părți, rezultă:

 

și aceasta se poate folosi ca definiția logaritmului complex.

În fine, identitatea exponențială

 

care este valabilă pentru orice întreg k, împreună cu formula lui Euler implică anumite identități trigonometrice, precum și formula lui de Moivre.

Legăturile cu trigonometriaModificare

Formula lui Euler furnizează o legătură puternică între analiza matematică și trigonometrie, aducând o exprimare a funcțiilor sinus și cosinus ca sume ponderate ale funcției exponențiale:

 
 

Cele două ecuații de mai sus pot fi deduse adunând și scăzând formulele lui Euler:

 
 

și rezolvând pentru cosinus sau sinus.

Aceste formule pot servi chiar ca definiții ale funcțiilor trigonometrice de argument complex x. De exemplu, dacă x = iy sunt valabile egalitățile:

 
 

Exponențialele complexe pot simplifica trigonometria, deoarece sunt mai ușor de utilizat decât componentele lor sinusoidale. Una din tehnici este de a converti pur și simplu sinusoidele în expresii echivalente în termeni de exponențiale. După prelucrări, rezultatul simplificat are valori reale. De exemplu:

 

O altă tehnică este reprezentarea sinusoidelor în termeni de parte reală a unei expresii complexe, și de a face prelucrările pe acea expresie. De exemplu:

 

Alte aplicațiiModificare

În ecuații diferențiale, funcția eix se folosește adesea pentru a simplifica derivările, chiar dacă rezultatul final este o funcție reală care implică sinus și cosinus. Identitatea lui Euler este o consecință imediată a formulei lui Euler.

În ingineria electrică dar și în alte domenii, semnalele ce pot varia periodic în timp sunt adesea descrise ca o combinație de sinus și cosinus, și acestea se exprimă mai convenabil ca partea reală a funcțiilor exponențiale cu exponent imaginar, folosind formula lui Euler. De asemenea, analiza fazorială a circuitelor poate include formula lui Euler pentru reprezentarea impedanței unui capacitor sau a unui inductor.

DemonstrațiiModificare

Folosind seriile TaylorModificare

Aceasta este o demonstrație a formulei lui Euler folosind dezvoltări în serie Taylor și proprietățile puterilor lui i:

 

și așa mai departe. Funcțiile ex, cos(x) și sin(x) (presupunând că x este număr real) pot fi exprimate folosind dezvoltările lor în serie Taylor în jurul lui zero:

 

Pentru z complex se definește fiecare funcție prin seriile de mai sus, înlocuind x cu z. Aceasta este posibil, deoarece raza de convergență a fiecărei serii este infinită. Atunci rezultă că

 

Rearanjarea termenilor se justifică deoarece fiecare serie este absolut convergentă. Luând z = x număr real rezultă identitatea originală așa cum a descoperit-o Euler.

Folosind derivataModificare

Se definește   prin

 

Aceasta este permisă deoarece ecuația

 

implică faptul că   nu este niciodată zero.

Derivata lui  , conform regulii câtului, este:

 

Deci,   trebuie să fie o funcție constantă. Astfel,

 

Rearanjând, rezultă că

 

Folosind ecuații diferențiale ordinareModificare

Se definește funcția g(x) prin

 

Considerând că i este constantă, primele două derivate ale lui g(x) sunt

 
 

deoarece i 2 = −1 prin definiție. De aici se construiește următoarea ecuație diferențială ordinară liniară de ordinul 2:

 

sau

 

Fiind o ecuație diferențială de ordinul 2, există două soluții liniar independente care o satisfac:

 
 

Atât cos(x) cât și sin(x) sunt funcții reale a căror a doua derivată este identică cu aceeași funcție cu semnul minus. Orice combinație liniară de soluții ale unei ecuații diferențiale omogene este de asemenea o soluție. Atunci, în general, soluția ecuației diferențiale este

   
 

pentru orice constante A și B. Dar nu toate valorile acestor două constante satisfac condițiile inițiale pentru g(x):

 
 .

Totuși aceste condiții inițiale (aplicate soluției generale) sunt

 
 

deci rezultă

 
 

și în cele din urmă,

 

NoteModificare

  1. ^ Feynman, Richard P. (). The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. pp. p. 22–10. ISBN 0-201-02010-6. 
  2. ^ Cotes scria: "Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, sinun habeat CX sinumque complementi ad quadrantem XE ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter  & CE mensura ducta in  ." (Astfel dacă vreun arc al unui cadran de cerc, descris de raza CE, are sinusul CX și sinusul complementului raportat la cadran XE ; luând raza CE ca modul, arcul va fi măsura raportului dintre   & CE multiplicat cu  .) Considerând un circ cu centrul E (în originea planului (x,y)) și raza CE și un unghi θ cu vârful în E având axa x pozitivă ca una din laturi și o rază CE ca cealaltă latură. Perpendiculara din punctul C de pe cerc la axa x e "sinusul" CX ; linia dintre centrul cercului E și punctul X de pe piciorul perpendicularei e XE, care e "sinus complementului raportat la cadran" sau "cosinus". Raportul dintre   și CE e astfel  . In terminologia lui Cotes, "măsura" unei mărimi e logaritmul său natural, iar "modulul" un factor de conversie care transformă măsura unui unghi în lungimea unui arc al unui cerc (aici modululul e raza (CE) cercului). Conform lui Cotes, produsul modulului și al măsurii (logaritm) raportului, la multiplicarea cu  , egalează lungimea arcului subintins de θ, care pentru orice unghi măsurat în radiani e CEθ. Astfel,  . Această egalitate are semn greșit: factorul   ar trebui să fie în partea dreaptă a egalității, nu în stânga. Făcând această schimbare, după împărțirea ambilor membrii cu CE and exponentiere în ambii membrii, rezultatul e:  , care e formula lui Euler.
    A se vedea:
    • Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45 ; în special pagina 32. Disponibilă on-line la: Hathi Trust
    • Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), capitol: "Logometria", p. 28.
  3. ^ John Stillwell (). Mathematics and Its History. Springer.