Deschide meniul principal
Seriile Taylor se apropie din ce în ce mai mult de funcția corectă, cu cât crește gradul. Această imagine arată și aproximările Taylor, cu polinom de grad 1, 3, 5, 7, 9, 11 și 13.

În matematică, o serie Taylor este o reprezentare a unei funcții ca o sumă infinită de termeni calculați din valorile derivatelor acelei funcții într-un punct. Poate fi privită ca limită a polinoamelor Taylor. Seriile Taylor au fost numite astfel după matematicianul englez Brook Taylor. Dacă seria folosește derivatele în zero, atunci ea se numește serie Maclaurin, denumită astfel după matematicianul scoțian Colin Maclaurin.

DefinițieModificare

Seria Taylor a unei funcții reale sau complexe f care este funcție indefinit derivabilă pe o vecinătate a unui număr real sau complex a, este seria de puteri

 

care poate fi scrisă în formă mai compactă ca

 

unde n! este factorialul lui n și f (n)(a) este a n-a derivată a lui f în punctul a; derivata zero a lui f este prin definiție f însăși și (x − a)0 și 0! sunt amândouă prin definiție 1.

Adesea f(x) este egală cu seria sa Taylor evaluată în x pentru orice x suficient de apropiat de a. Acesta este motivul principal pentru care sunt importante seriile Taylor.

ExempleModificare

Seria Maclaurin pentru orice polinom este polinomul însuși.

Seria Maclaurin pentru   este seria geometrică

 

deci seria Taylor pentru   în   este

 

Integrând seria Maclaurin de mai sus se obține seria Maclaurin pentru  , unde cu log s-a notat logaritmul natural:

 

și seria Taylor corespunzătoare pentru   în   este

 

Seria Maclaurin pentru funcția exponențială   în   este

 

Dezvoltarea de mai sus este valabilă deoarece derivata lui   este chiar   iar   este 1. Aceasta lasă termenii   la numărător și n! la numitor la fiecare termen al sumei infinite.

Seria MacLaurin pentru funcția logaritmică ln(x+1) este