Derivată

În matematică, derivata unei funcții este unul dintre conceptele fundamentale ale analizei matematice, împreună cu primitiva (inversa derivatei, adică integrala).

În fiecare punct, derivata funcției $\scriptstyle f(x)=1+x\sin x^{2}$ este panta (înclinarea) dreptei care este tangentă la curbă. Dreapta care se mișcă este tangenta instantanee la curbă în orice moment; este colorată în verde dacă este pozitivă, în negru dacă este zero, respectiv în roșu, dacă este negativă.

Derivata unei funcții într-un punct semnifică rata cu care se modifică valoarea funcției atunci când se modifică argumentul. Cu alte cuvinte, derivata este o formulare matematică a noțiunii de rată de variație. Derivata este un concept foarte versatil, care poate fi privit în multe feluri. De exemplu, referindu-ne la graficul bidimensional al funcției f, derivata într-un punct x reprezintă panta tangentei la grafic în punctul x. Panta tangentei se poate aproxima printr-o secantă. Cu această interpretare geometrică, nu este surprinzător faptul că derivatele pot fi folosite pentru a descrie multe proprietăți geometrice ale graficelor de funcții, cum ar fi concavitatea și convexitatea.

Trebuie menționat că nu toate funcțiile admit derivate. De exemplu, funcțiile nu au derivate în punctele în care au o tangentă verticală, în punctele de discontinuitate și în punctele de întoarcere.

Disputa Leibnitz–Newton

Calculul diferențial și cel integral au fost inventate practic simultan, dar independent unul de celălalt, de către englezul Isaac Newton (1643–1727), respectiv de către matematicianul german Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716).

Se poate menționa, cu titlul aproape anecdotic, dar absolut real, că lumea științifică a momentului respectiv (1685-1690) asista, aproape „cu sufletul la gură”, timp de câțiva ani buni, la un dialog deschis și permanent al celor doi titani, Leibnitz și Newton. Doar după ce cei doi oameni de știință au ajuns la înțelegerea abordării conceptelor și noțiunilor din ambele puncte de vedere (al fizicianului și al matematicianului), după ce s-au pus de acord cu noțiunile preliminare, limitele și metodologia de abordare a conceptelor etc., cei doi au putut explica și restului lumii științifice despre ce este vorba.

Derivată și derivabilitate

Derivata a apărut din necesitatea de a exprima rata cu care se modifică (variază) o cantitate y ca urmare a modificării (variației) unei alte cantități x de care este legată printr-o funcție. Folosind simbolul Δ pentru a nota modificarea (variația) unei cantități, această rată se definește ca limita raportului variațiilor (diferențelor):

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

pe măsură ce Δ x tinde spre 0 sau altfel exprimat Δ x e în vecinătatea lui 0. În notația lui Leibniz, derivata lui y în raport cu x se scrie

${\frac {dy}{dx}}$

sugerând raportul a două diferențe numerice (cantități) infinitezimale (în vecinătatea lui 0). Expresia de mai sus se poate pronunța fie "dy supra dx", fie "dy la dx".

În limbajul matematic contemporan, nu se mai face referire la cantitățile care variază; derivata este considerată o operație matematică asupra funcțiilor. Definiția formală a acestei operații (care nu mai face uz de noțiunea de cantități infinitezimale) este dată de limita când h tinde la 0 (e în vecinătatea lui 0) a următoarei expresii:

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

Funcții derivabile

O funcție $f(x)$ este derivabilă într-un punct $x_{0}$ dacă:

$\exists \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=L$ și $L\in \mathbb {R}$

Dacă $L\in \lbrace -\infty ,+\infty \rbrace$ atunci spunem că $f$ are derivată dar nu este derivabilă

Relația dintre continuitate și derivabilitate

Fie $f:D\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x_{0}\in D\cap D\prime$ unde $D\prime$ este mulțimea punctelor de acumulare. Atunci:

$f$ derivabilă în $x_{0}\Rightarrow f$ continuă în $x_{0}$, dar :$f$ poate fi continuă și nederivabilă (conversa afirmației este falsă)

Derivarea funcțiilor obținute prin operații algebrice elementare

Fie $f,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,f$ și $g$ funcții derivabile pe domeniul lor de definiție. Atunci:

$f'+g'=(f+g)'$ ;

$(\lambda f)'=\lambda f'\ ,\,\lambda \in \mathbb {R}$ ;

$(fg)'=f'g+fg'$ ;

${\biggl (}{\frac {f}{g}}{\biggr )}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}},\quad g(x)\neq 0$.

$((g\circ f)(x))'=(g(f(x))'=g'(f(x))\cdot f'(x)$

Aceste egalități se pot demonstra pornind de la definiția derivatei.

Derivatele unor funcții elementare

• Putere:

$f(x)=x^{r}$

unde r este număr real, atunci:

$f'(x)=rx^{r-1}$

oriunde derivata este bine definită.

• Funcția exponențială și logaritmică:

${d \over dx}a^{x}=a^{x}ln(a)$

${d \over dx}log_{a}x={1 \over x\ ln(a)}$

• Funcții trigonometrice:

${d \over dx}sin(x)=cos(x)$

${d \over dx}cos(x)=-sin(x)$

${d \over dx}tan(x)={1 \over cos^{2}(x)}$

${d \over dx}cot(x)=-{1 \over sin^{2}(x)}$

${d \over dx}sinh(x)=cosh(x)$

${d \over dx}cosh(x)=sinh(x)$

${d \over dx}tanh(x)=sech^{2}(x)$

• Funcții trigonometrice inverse:

${d \over dx}arcsin(x)={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}arccos(x)=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}arctan(x)={1 \over 1+x^{2}}$

${d \over dx}arccot(x)=-{1 \over 1+x^{2}}$

${d \over dx}arcsinh(x)={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$

${d \over dx}arccosh(x)={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}$

${d \over dx}arctanh(x)={1 \over 1-x^{2}}$

${d \over dx}arccoth(x)={1 \over 1-x^{2}}$

Valabile pentru domeniile corespunzătoare de definiție.

Notații

Dacă f este o funcție, derivata funcției f în punctul x se poate nota (simboliza) în mai multe moduri:

• $f'(x)\quad$

pronunțat "f prim de x";

• ${\frac {d}{dx}}f(x)$

pronunțat "d pe d x din f de x";

• ${\frac {df}{dx}}$

pronunțat "d f pe d x"

• $D_{x}f\quad$

pronunțat "d indice x de f".

Bibliografie

• Gh. Sirețchi, Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.
• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2 februarie 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (ed. 8th), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5 
• Apostol, Tom M. (iunie 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, 1 (ed. 2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 
• Apostol, Tom M. (iunie 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, 1 (ed. 2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5 
• Courant, Richard; John, Fritz (22 decembrie 1998), Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65058-4 
• Eves, Howard (2 ianuarie 1990), An Introduction to the History of Mathematics (ed. 6th), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4 
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (28 februarie 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (ed. 4th), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5 
• Spivak, Michael (septembrie 1994), Calculus (ed. 3rd), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8 
• Stewart, James (24 decembrie 2002), Calculus (ed. 5th), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7 
• Thompson, Silvanus P. (8 septembrie 1998), Calculus Made Easy (ed. Revised, Updated, Expanded), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0 

Vezi și

• Tabel de derivate
• Derivată parțială
• Derivată funcțională
• Primitivă
• Factor integrant
• Teoria nodurilor
• Spațiu topologic
• Ecuație diferențială ordinară
• Funcție continuă
• Limită a unei funcții

Legături externe

• Crowell, Benjamin (2003), Calculus 
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus, University of Minnesota 
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus 
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals 
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, arhivat din original la 15 aprilie 2006, accesat în 7 februarie 2011 
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations 
• Strang, Gilbert (1991), Calculus 
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus 
• Wikibooks, Calculus 
• Weisstein, Eric W. "Derivative." From MathWorld
• Differentiation Calculator
• Derivatives of Trigonometric functions, UBC
• Solved Problems in Derivatives Arhivat în 27 august 2013, la Wayback Machine.