În analiză numerică, diferențele divizate reprezintă un algoritm recursiv folosit pentru a calcula coeficienții unui polinom de interpolare în forma Newton.

Definiție modificare

Având în vedere k+1 puncte de date

 

Diferențele divizate înainte sunt definite ca:

 
 

Diferențele divizate înapoi sunt definite ca:

 
 

În continuare ne vom referi la diferențele divizate înainte, cele mai utilizate în practică. Pentru diferențele divizate înapoi, raționamentul este asemănător.

Observații modificare

Dacă punctele de date sunt valorile unei funcții ƒ,

 

uneori se scrie

 
 

Câteva notații pentru diferența divizată a funcției f pe nodurile 'x0, ..., xn sunt următoarele:

 
 
 

etc

Exemplu modificare

Pentru primele valori ale  

 

Pentru a face procesul recursiv mai clar diferentele divizate pot fi puse într-o formă de tabel

 

Proprietăți modificare

  • Liniaritate
 
 
  • Regula Leibniz
 
  • Din teorema valorii intermediare, rezultă că
 
  •   =  

Pentru n=1, evident. Pentru n>1, demonstrația se continuă aplicând inducția matematică.

Tot prin inducție matematică, știind că orice permutare se poate reprezenta ca un produs de transpoziții, se demonstrează că:

  •   nu depinde de ordinea punctelor  , ...,  .

Bibliografie modificare

  • Dan Larionescu, Metode numerice, Editura Tehnică, 1989, p 77-80
  • Constantin Ilioi, Probleme de optimizare și algoritmi de aproximare a soluțiilor, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1980.
  • www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mn2009.pdf/ Metode numerice - Aspecte teoretice și practice, Mădălina Roxana Buneci, Editura Academică Brâncuși, Târgu Jiu, 2009
  • http://cs.upm.ro/~bela.finta/.files/carti/Numerika.pdf Arhivat în , la Wayback Machine.
  • www.vpetrehus.home.ro/Lectii_AN.pdf/ Lecții de analiză numerică, Viorel Petrehus, Universitatea Tehnică de Construcții București, 2010