Polinomul de interpolare Newton

În analiză numerică, polinomul de interpolare Newton, numit după inventatorul său Isaac Newton, este polinomul de interpolare, exprimat sub forma Newton, folosind diferențe divizate.

Definiție

modificare

Având un set de k + 1 puncte de date diferite între ele:

 

polinomul de interpolare în forma Newton este o combinație liniară din polinoamele Newton polinoame de bază

 

unde polinoamele Newton de bază sunt definite astfel:

 

pentru   și  . Coeficienții sunt definiți ca:

 

unde

 

sunt diferențele divizate.

Astfel, polinomul Newton poate fi scris ca:

 

"Polinomul Newton 'de mai sus poate fi exprimat într-o formă simplificată atunci când   sunt aranjate consecutiv, la distanțe egale. Introducând notația   pentru fiecare   și  , diferența   poate fi scrisă ca  . Deci, "polinomul Newton" de mai sus devine:

 

 

 

se numește formula diferențelor divizate ale lui Newton".

În cazul în care nodurile sunt ordonate ca  , polinomul Newton devine:

 

Dacă  sunt la fel de distanțate cu x=  and   for  , atunci

 
 

se numește formula diferențelor divizate inversate ale lui Newton".

Diferențele divizate pot fi scrise în forma unui tabel. De exemplu, pentru o funcție   este de a fi interpolate pe puncte  . Scriem

 

Atunci polinomul de interpolare este format ca mai sus folosind mențiunile cel mai de sus din fiecare coloană ca coeficienți.

De exemplu, să presupunem că trebuie să construim polinomul de interpolare pentru   folosind diferențele divizate, la punctele

         
         

Pentru utilizarea unei precizii de 6 zecimale, vom construi tabelul

 

Astfel, polinomul de interpolare este: 

 
 

Având în vedere o acuratețe mai mare în tabel, coeficienții primul și al treilea vor fi egali cu zero.

Bibliografie

modificare
  • Constantin Ilioi, Probleme de optimizare și algoritmi de aproximare a soluțiilor, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1980.
  • www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mn2009.pdf/ Metode numerice - Aspecte teoretice și practice, Mădălina Roxana Buneci, Editura Academică Brâncuși, Târgu Jiu, 2009
  • http://cs.upm.ro/~bela.finta/.files/carti/Numerika.pdf Arhivat în , la Wayback Machine.
  • www.vpetrehus.home.ro/Lectii_AN.pdf/ Lecții de analiză numerică, Viorel Petrehus, Universitatea Tehnică de Construcții București, 2010