Deschide meniul principal

În matematică, o serie de puteri (de o singură variabilă) este o serie infinită de forma:

unde an reprezintă coeficienții celui de-al n-lea termen , c este o constantă, iar x variază in jurul lui c (din acest motiv se mai spune că seria este "centrată" în jurul lui c). Această serie provine din serie Taylor a unei funcții.

În multe situații c este nul, de exemplu în cazul seriei Maclaurin. În astfel de cazuri, seria de puteri are o formă mai simplă:

Astfel de serii sunt utilizate în analiza matematică, în combinatorică, dar și în electrotehnică (transformata Z). De asemenea, scrierea zecimală poate fi considerată o aplicație a seriilor de puteri cu coeficienți întregi și având ca argument x de valoare 1/10. În teoria numerelor, seriile de puteri se aplică la studiul numerelor p-adice.

Proprietățile seriilor de puteriModificare

Seriile de puteri au o deosebită importanță în cercetările teoretice și în științele aplicate. Câteva din proprietățile lor vor fi prezentate mai jos.

Teoremă. Fie   o serie de puteri convergentă pe intervalul  . Pentru orice număr  , astfel încât  , seria este uniform convergentă pe intervalul  .
Demonstrație.
Deoarece   și  , rezultă, conform teoremei lui Abel, că seria   este absolut convergentă, deci pentru   seria   este absolut covergentă.
Dar   și conform criteriului de convergență uniformă a seriilor de funcții rezultă că seria de puteri este uiform convergentă.
Această teoremă are două consecințe:
Consecința 1. Suma   a unei serii de puteri   este o funcție continuă pe intervalul de convergență.
Demonstrație.
Pe orice interval   seria de puteri este uniform convergentă și toți termenii seriei sunt funcții continue, rezultă că suma serie   este o funcție continuă pe  .
Consecința 2. Suma   a unei serii de puteri   este uniform continuă pe orice interval compact   conținut în intervalul de convergență.
Demonstrație.
Pe orice interval   suma   este continuă, deci fiind continuă pe un interval compact rezultă că este uniform continuă pe intervalul compact  .
  • Derivarea seriilor de puteri în intervalul de convergență.
Teoremă. Fie   o serie de puteri convergentă pe intervalul  . Seria  , formată cu derivatele termenilor seriei date, are același interval de convergență ca și seria dată.
Demonstrație.

Dacă notăm cu   raza de convergență a serie  , avem

 

Această teoremă are mai multe consecințe:

Consecința 1. Suma serie formată cu derivatele termenilor seriei de puteri este derivata sumei seriei de puteri, în intervalul de convergență. Dacă notăm
  și  ,

atunci

  pentru orice  .
Demonstrație.

Seria derivatelor având aceeași rază de convergență ca și seria inițială, rezultă că seria derivatelor este uniform convergentă în intervalul de convergență a seriei inițiale. Deci, derivata sumei   este egală cu suma seriei derivatelor termenilor,  .

Consecința 2. Suma serie formată cu derivatele termenilor unei serii de puteri este o funcție continuă și derivabilă pe intervalul de convergență.
Consecința 3. Dacă   este o serie de puteri cu raza de convergență  :
  1. seria formată cu derivatele de ordinul   ale termenilor seriei are aceeași rază de convergență  ;
  2. suma   a seriei   este indefinit derivabilă pe intervalul de convergență   și derivata de ordinul  ,   este egală cu suma seriei derivatelor de ordinul   pentru orice  .

Operații cu serii de puteriModificare

Fie   și   două serii de puteri cu raze de convergență  , respectiv  .
  • Suma celor două serii de puteri este tot o serie de puteri,  , care are ca rază de convergență  .
Într-adevăr, pentru orice  , astfel încât  , seriile numerice   și   sunt convergente, rezultă că și seria sumă este convergentă.
Dacă   și   sunt sumele celor două serii și   este suma seriei  , avem   petru orice  .
  • Diferența celor două serii de puteri este tot o serie de puteri,  , care are ca rază de convergență  .
Dacă   este suma seriei  , atunci
  petru orice  .
  • Produsul celor două serii de puteri este tot o serie de puteri,
 

care are ca rază de convergență  .

Dacă   este suma seriei produs, atunci
  petru orice  .
  • Câtul celor două serii de puteri cu sumele  ,  ,   este o serie de puteri cu suma  ,
 

cu coeficienți   definiți de egalitatea  .

Coeficienții   se determină din sistemul infinit de ecuații liniare

 

Serii de puteri remarcabileModificare

Nr. crt.   Domeniu
maxim de
definiție
Dezvoltarea în serie de
puteri ale lui   pentru funcția  
Raza de
convergență
a seriei
Mulțimea de
convergență
a seriei
Mulțimea de
divergență
a seriei
1.
 
 
 
 
 
 
2.
 
 
 
 
 
 
3.
 ,

 
 
 
 
 
 
4.
 
 
 
 
 
 
5.
 
 
 
 
 
 
6.
 
 
 
 
 
 
7.
 
 
 
 
 
 
8.
 
 
 
 
 
 
9.
 ,
 
 
 
 
 
 
10.
 ,
 
 
 
 
 
 
11.
 ,
 
 
 
 
 
 
12.
 ,
 
 
 
 
 
 
13.
 ,
 
 
 
 
 
 
14.
 ,
 
 
 
 
 
 
15.
 ,
 
 
 
 
 
 
16.
 ,
 
 
 
 
 
 
17.
 ,
 
 
 
 
 
 
18.
 ,
 
 
 
 
 
 
19.
 ,
 
 
 
 
 
 
20.
 ,
 
 
 
 
 
 
21.
22.
23.
24.

BibliografieModificare

Marcel Roșculeț, Analiză matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1984