Formula lui Moivre

(Redirected from Formula lui de Moivre)

Formula lui Moivre face legătura între numere complexe și trigonometrie. Poartă numele matematicianului Abraham de Moivre, care în 1707 a obținut formula:

pe care a reușit să o demonstreze pentru orice

Pornind de la aceasta, de Moivre sugerează că are loc și relația:

    (formula lui Moivre)

Leonhard Euler a demonstrat-o utilizând formula care îi poartă numele.

Cea mai simplă demonstrație a formulei face apel la metoda inducției matematice. Astfel, pentru formula este verificată.

Acum se presupune formula adevărată pentru adică:

și se va demonstra că de aici rezultă valabilitatea formulei și pentru

Într-adevăr,

Cazul ridicării la o putere raționalăEdit

Formula lui Moivre este valabilă doar pentru   Dacă în locul lui n este introdus exponentul fracționar   și se ia   se obține:

 

care are n valori diferite când k parcurge mulțimea   Acestea sunt de fapt rădăcinile de ordinul n ale unității.