Deschide meniul principal

În matematică, distanța euclidiană sau metrica euclidiană este distanța „obișnuită” între două puncte, dată în coordonate carteziene de formula lui Pitagora. Utilizând această formulă ca distanță într-un spațiu euclidian, acest spațiu (ca și orice alt spațiu cu produs scalar) devine spațiu metric. Norma asociată acestui spațiu metric se numește normă euclidiană.

Cuprins

DefinițieModificare

Distanța euclidiană între două puncte p și q este lungimea segmentului de dreaptă care le unește, ( ).

În coordonate carteziene, dacă p = (p1p2,..., pn) și q = (q1q2,..., qn) sunt două puncte într-un spațiu euclidian n-dimensional, atunci distanța de la p la q, sau de la q la p este dată de:

  (1)

Poziția unui punct într-un spațiu euclidian de dimensiune n este un vector euclidian. Astfel, p și q sunt vectori euclidieni, cu originea în originea spațiunui, și cu vârful indicând cele două puncte. Norma euclidiană a unui vector măsoară lungimea vectorului:

 

unde ultima ecuație implică produsul scalar.

Un vector poate fi descris ca fiind un segment de dreaptă ce leagă originea spațiului euclidian cu un punct din acel spațiu. Dacă se consideră că lungimea acestui segment este de fapt distanța dintre puncte, devine clar că norma euclidiană a unui vector este doar un caz particular de distanță euclidiană: distanța euclidiană între origine și punct.

Distanța între p și q poate avea direcție (de ex., de la p la q), și deci poate fi și ea reprezentată printr-un vector, dat de expresia

 

Într-un spațiu tridimensional (n=3), aceasta este o săgeată de la p la q, care poate fi privită ca fiind poziția lui q relativ la p.

Distanța euclidiană între p și q este doar norma euclidiană a acestui vector-distanță:   (2)

echivalent cu:

 

Cazul unidimensionalModificare

În 1D, distanța între două puncte pe dreapta reală este valoarea absolută a diferenței lor. Astfel, dacă x și y sunt două puncte pe dreapta reală, distanța între ele este dată de:

 

Într-o singură dimensiune, există o singură metrică omogenă, invariantă la translație (cu alte cuvinte, o distanță indusă de normă), și anume distanța euclidiană. În mai multe dimensiuni, sunt posibile și alte norme.

Două dimensiuniModificare

În planul euclidian, dacă p = (p1p2) și q = (q1q2) atunci distanța este dată de

 

Altfel, rezultă din ecuația 2 (Format:EquationRef) că dacă coordonatele polare ale punctului p sunt (r1, θ1) iar cele ale lui q sunt (r2, θ2), atunci distanța este

 

Trei dimensiuniModificare

În spațiul euclidian tridimensional, distanța este

 

N dimensiuniModificare

In general, pentru un spatiu cu N dimensiuni, distanta este:

 

Distanța euclidiană la pătratModificare

Distanța euclidiană standard se poate ridica la pătrat pentru a da pondere mai mare obiectelor aflate la distanță mai mare. În acest caz, ecuația de definiție a distanței devine

 

Aceasta nu este o metrică, deoarece nu satisface inegalitatea triunghiului, dar este utilizată adesea în probleme de optimizare în care distanțele trebuie doar comparate, valorile lor numerice nefiind importante.