Criteriul Kummer

Enunț:

Fie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ o serie numerică cu termeni pozitivi. Dacă există un șir de numere reale pozitive $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$, o constantă $\alpha >0$ și un număr natural $N$ așa încât $c_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}b_{n}-b_{n+1}\geq \alpha ,\forall n\geq N$ atunci seria $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ este convergentă, altfel dacă $c_{n}\leq 0,\forall n\geq N$ și $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{b_{n}}}$ este divergentă, atunci $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ este divergentă.

Demonstrație:

Demonstrăm prima parte: ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}b_{n}-b_{n+1}\geq \alpha ,\forall n\geq N\iff a_{n}b_{n}-a_{n+1}b_{n+1}\geq \alpha a_{n+1},\forall n\geq N$ unde am ținut cont că $a_{n+1}>0$. Din această inegalitate deducem: $\sum _{n=N}^{N+p-1}(a_{n}b_{n}-a_{n+1}b_{n+1})\geq \alpha \sum _{n=N}^{N+p-1}a_{n+1}\iff a_{N}b_{N}-a_{N+p}b_{N+p}\geq \alpha (a_{N+1}+...+a_{N+p})\iff a_{N}b_{N}-a_{N+p}b_{N+p}\geq \alpha (s_{N+p}-s_{N})$ unde $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$. Din ultima inegalitate deducem $s_{N+p}-s_{N}\leq {\frac {1}{\alpha }}(a_{N}b_{N}-a_{N+p}b_{N+p})\leq {\frac {1}{\alpha }}a_{N}b_{N}\implies s_{N+p}\leq s_{N}+{\frac {1}{\alpha }}a_{N}b_{N},\forall p\in \mathbb {N} ^{*}$ Acest rezultat arată că $(s_{n})$ este un șir mărginit superior iar din faptul că $a_{n}>0,\forall n\in \mathbb {N} ^{*}$ si $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$. deduceam că $(s_{n})$ este crescător. Din teorema lui Weierstarss avem că $(s_{n})$ este convergent și deci $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ este convergentă.Demonstrăm acum partea a doua.Dacă $c_{n}\leq 0,\forall n\geq N\implies a_{n}b_{n}-a_{n+1}b_{n+1}\leq 0,\forall n\geq N\iff {\frac {\frac {1}{b_{n+1}}}{\frac {1}{b_{n}}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}},\forall n\geq N$. Din al doilea criteriu al comparației și ținând cont că $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{b_{n}}}$ este divergentă avem că $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ este divergentă.