Criteriul Kummer

Enunț:Modificare

Fie   o serie numerică cu termeni pozitivi. Dacă există un șir de numere reale pozitive  , o constantă   și un număr natural   așa încât   atunci seria   este convergentă, altfel dacă   și   este divergentă, atunci   este divergentă.

Demonstrație:Modificare

Demonstrăm prima parte:   unde am ținut cont că  . Din această inegalitate deducem:   unde  . Din ultima inegalitate deducem   Acest rezultat arată că   este un șir mărginit superior iar din faptul că   si  . deduceam că   este crescător. Din teorema lui Weierstarss avem că   este convergent și deci   este convergentă.Demonstrăm acum partea a doua.Dacă  . Din al doilea criteriu al comparației și ținând cont că   este divergentă avem că   este divergentă.