Teorema lui Weierstrass

Teorema lui Weierstrass este un enunț matematic despre condițiile în care anumite șiruri numerice pot fi convergente.

Teorema lui WeierstrassModificare

Fie (an) un șir de numere reale.
a) Dacă (an) este un șir monoton crescător și mărginit superior, atunci el este convergent.
b) Dacă (an) este un șir monoton descrescător și mărginit inferior, atunci el este convergent.

DemonstrațieModificare

a) Mulțimea A = {an | n din N*} este mulțime mărginită superior. Rezultă că sup A = M din R. Vom arăta că  . Fie ε > 0. Din proprietatea numărului M, de margine superioară a mulțimii A, se obține că M - ε nu este majorant penru A.
Atunci există un rang n(ε) din N*, astfel încât an(ε) > M - ε. Din monotonia șirului (an) rezultă că an ≥ an(ε) > M - ε, oricare ar fi n ≥ n(ε) și astfel:

M - ε < an(ε) ≤ an ≤ M < M + ε, de unde | an - M | < ε, oricare ar fi n ≥ n(ε).

Așadar, pentru orice ε > 0, există un rang n(ε), astfel încât | an - M | < ε, oricare ar fi n ≥ n(ε). Deci   și teorema este demonstrată.
b) Șirul bn = - an este monoton crescător și mărginit superior, deci este convergent. Se arată că   și teorema este demonstrată.
Teorema lui Weierstrass are avantajul că pentru a demonstra convergența unui șir nu trebuie să cunoaștem limita acestuia. Dar, are și dezavantajul că nu permite calculul limitei.

BibliografieModificare

  • ro Burtea, Marius și Burtea, Georgeta: Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, M1, Editura Carminis, Pitești, 2006