Teorema lui Weierstrass
S-a sugerat ca în pagina Teorema Weierstrass-Bolzano să fie inclus conținutul acestei pagini sau secțiuni. |
Acest articol sau secțiune are mai multe probleme. Puteți să contribuiți la rezolvarea lor sau să le comentați pe pagina de discuție. Pentru ajutor, consultați pagina de îndrumări.
Nu ștergeți etichetele înainte de rezolvarea problemelor. |
Teorema lui Weierstrass-Bolzano este un enunț matematic despre condițiile în care anumite șiruri numerice pot fi convergente.
Teorema lui Weierstrass-BolzanoModificare
Fie (an) un șir de numere reale.
a) Dacă (an) este un șir monoton crescător și mărginit superior, atunci el este convergent.
b) Dacă (an) este un șir monoton descrescător și mărginit inferior, atunci el este convergent.
DemonstrațieModificare
a) Mulțimea A = {an | n din N*} este mulțime mărginită superior. Rezultă că sup A = M din R. Vom arăta că .
Fie ε > 0. Din proprietatea numărului M, de margine superioară a mulțimii A, se obține că M - ε nu este majorant pentru A.
Atunci există un rang n(ε) din N*, astfel încât an(ε) > M - ε. Din monotonia șirului (an) rezultă că
an ≥ an(ε) > M - ε, oricare ar fi n ≥ n(ε) și astfel:
- M - ε < an(ε) ≤ an ≤ M < M + ε, de unde | an - M | < ε, oricare ar fi n ≥ n(ε).
Așadar, pentru orice ε > 0, există un rang n(ε), astfel încât | an - M | < ε, oricare ar fi n ≥ n(ε). Deci și teorema este demonstrată.
b) Șirul bn = - an este monoton crescător și mărginit superior, deci este convergent. Se arată că și teorema este demonstrată.
Teorema lui Weierstrass-Bolzano are avantajul că pentru a demonstra convergența unui șir nu trebuie să cunoaștem limita acestuia. Dar, are și dezavantajul că nu permite calculul limitei.
BibliografieModificare
- ro Burtea, Marius și Burtea, Georgeta: Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, M1, Editura Carminis, Pitești, 2006