Teorema lui Weierstrass

Teorema lui Weierstrass-Bolzano este un enunț matematic despre condițiile în care anumite șiruri numerice pot fi convergente.

Teorema lui Weierstrass-Bolzano

Fie (a_n) un șir de numere reale.
a) Dacă (a_n) este un șir monoton crescător și mărginit superior, atunci el este convergent.
b) Dacă (a_n) este un șir monoton descrescător și mărginit inferior, atunci el este convergent.

Demonstrație

a) Mulțimea A = {a_n | n din N*} este mulțime mărginită superior. Rezultă că sup A = M din R. Vom arăta că $\lim _{n\to \infty }a_{n}=M$. Fie ε > 0. Din proprietatea numărului M, de margine superioară a mulțimii A, se obține că M - ε nu este majorant pentru A.
Atunci există un rang n(ε) din N*, astfel încât a_n(ε) > M - ε. Din monotonia șirului (a_n) rezultă că a_n ≥ a_n(ε) > M - ε, oricare ar fi n ≥ n(ε) și astfel:

M - ε < a_n(ε) ≤ a_n ≤ M < M + ε, de unde | a_n - M | < ε, oricare ar fi n ≥ n(ε).

Așadar, pentru orice ε > 0, există un rang n(ε), astfel încât | a_n - M | < ε, oricare ar fi n ≥ n(ε). Deci $\lim _{n\to \infty }a_{n}=M$ și teorema este demonstrată.
b) Șirul b_n = - a_n este monoton crescător și mărginit superior, deci este convergent. Se arată că $\lim _{n\to \infty }a_{n}=inf{a_{n}}$ și teorema este demonstrată.
Teorema lui Weierstrass-Bolzano are avantajul că pentru a demonstra convergența unui șir nu trebuie să cunoaștem limita acestuia. Dar, are și dezavantajul că nu permite calculul limitei.

Bibliografie

• ro Burtea, Marius și Burtea, Georgeta: Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, M1, Editura Carminis, Pitești, 2006