Principiul Cantor-Dedekind

Principiul Cantor-Dedekind pune în evidență o proprietate importantă de ordonare a numerelor reale, fiind la baza multor teoreme fundamentale ale analizei matematice. Mai este denumit și principiul de localizare al lui Cantor.

Este asociat cu numele matematicienilor Georg Cantor și Richard Dedekind.

Enunț

Pentru orice familie numărabilă de intervale închise $I_{n}=[a_{n},b_{n}]\!$ cu $I_{n+1}\subset I_{n}\!$ avem că $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}\neq \varnothing .\!$

Demonstrație

Din $I_{n+1}\subset I_{n}\!$ se deduc inegalitățile:

$a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots <b_{m}<\ldots <b_{2}<b_{1},\!$

deoarece în caz contrar, adică dacă ar exista $n_{0},m_{0}\!$ numere naturale cu $b_{m0}<a_{n0}\!$ atunci luând $k=\max\{n_{0},m_{0}\}\!$ s-ar obține $b_{m0}<a_{n0}<a_{k}<b_{k}\!$ absurd pentru $m_{0}<k.\!$

Mulțimea $A=\{a_{n},\;n\in \mathbb {N} \}\!$este majorată superior deci există $\alpha =\sup A.\!$

Avem că $\alpha <b_{m},\;\forall m\in \mathbb {N} .\!$ Într-adevăr, în caz contrar ar exista un $m_{0}\in \mathbb {N} \!$ cu $b_{m0}<\alpha \!$ și în consecință există și un $a_{n1}\!$ cu $b_{m0}<a_{n1}<\alpha \!$ ceea ce contravine faptului că cele două familii de numere reale sunt disjuncte.

Mulțimea $B=\{b_{m},\;m\in \mathbb {N} \}\!$ este minorată inferior deci există $\beta =\inf B.\!$ Urmând același raționament rezultă că $a_{n}<\beta ,\;\forall n\in \mathbb {N} .\!$

Se arată prin reducere la absurd că $\alpha <\beta .\!$

Dacă $\beta \leq \alpha \!$ atunci există $a_{n}\!$ cu $\beta <a_{n}<\alpha \!$ și având în vedere prima inegalitate rezultă că există un $b_{m}\!$ cu $\beta <b_{m}<a_{n}\!$ fapt care conduce tot la o contradicție. Așadar $\alpha \!$ și $\beta \!$ sunt două numere reale cu proprietatea că $a_{n}<\alpha <\beta <b_{n}\!$ pentru orice $n\in \mathbb {N} \!$ și în consecință rezultă că intersecția familiei de intervale este nevidă conținând intervalul $[\alpha ,\beta ].\!$

Consecințe

Teorema poate fi utilizată pentru demonstrarea teoremei Weierstrass-Bolzano.

Legături externe

• en Wolfram MathWorld