Fie A o mulțime mărginită și infinită de numere reale.
Există cu pentru orice
Luăm și considerăm
Cel puțin unul din intervalele conține o infinitate de elemente din A.
Se notează acest interval prin
Deci și că
Repetând raționamentul, rezultă o familie de intervale cu proprietățile:
a)
b)
Prima proprietate permite aplicarea principiului Cantor-Dedekind, de unde va rezulta că intersecția familiei de intervale este nevidă, adică va conține intervalul ce apare în demonstrația principiului.
Folosind a doua proprietate și principiul lui Arhimede, se va arăta că intersecția familiei de intervale se reduce la un singur număr real, adică faptul că
Din pentru orice rezultă că:
și se obține:
Aplicând principiul lui Arhimede pentru și pentru rezultă că există cu:
fapt ce contrazice inegalitatea stabilită anterior, respectiv:
Se notează prin valoarea comună a lui și
Pentru aceasta se demonstrează că este punct de acumulare pentru mulțimea A.
Fie o vecinătate a lui
Se demonstrează mai întâi că există și cu
Dacă pentru orice n avem că atunci obținem că pentru orice n deci ar rezulta că intersecția intervalelor nu se reduce la un punct.
Similar se obține existența lui cu proprietatea menționată.
În fapt, inegalitățile:
rezultă imediat și din construcția lui și
Fie în continuare
Avem inegalitățile:
și deoarece intervalul conține o infinitate de elemente din mulțimea A, rezultă că este un punct de acumulare al mulțimii.