Teorema Weierstrass-Bolzano

teoremă a convergenței într-un spațiu euclidian finit

În analiza matematică, teorema Weierstrass-Bolzano exprimă o proprietate esențială a topologiei numerelor reale.

Este asociată matematicienilor Karl Weierstrass și Bernard Bolzano.

EnunțModificare

O submulțime mărginită și infinită de numere reale are cel puțin un punct de acumulare.

DemonstrațieModificare

Fie A o mulțime mărginită și infinită de numere reale. Există   cu   pentru orice   Luăm   și considerăm  

Cel puțin unul din intervalele   conține o infinitate de elemente din A. Se notează acest interval prin   Deci   și că   Repetând raționamentul, rezultă o familie de intervale   cu proprietățile:

a)  

b)  

Prima proprietate permite aplicarea principiului Cantor-Dedekind, de unde va rezulta că intersecția familiei de intervale este nevidă, adică va conține intervalul   ce apare în demonstrația principiului.

Folosind a doua proprietate și principiul lui Arhimede, se va arăta că intersecția familiei de intervale se reduce la un singur număr real, adică faptul că  

Din   pentru orice   rezultă că:

 

și se obține:

 

Aplicând principiul lui Arhimede pentru   și pentru   rezultă că există   cu:

 

fapt ce contrazice inegalitatea stabilită anterior, respectiv:

 

Se notează prin   valoarea comună a lui   și   Pentru aceasta se demonstrează că   este punct de acumulare pentru mulțimea A.

Fie   o vecinătate a lui   Se demonstrează mai întâi că există   și   cu

 

Dacă pentru orice n avem că   atunci obținem că   pentru orice n deci ar rezulta că intersecția intervalelor nu se reduce la un punct. Similar se obține existența lui   cu proprietatea menționată. În fapt, inegalitățile:

 

rezultă imediat și din construcția lui   și   Fie în continuare  

Avem inegalitățile:

 

și deoarece intervalul   conține o infinitate de elemente din mulțimea A, rezultă că   este un punct de acumulare al mulțimii.

Legături externeModificare