Descompunerea QR

În algebra liniară, descompunerea QR (numită și factorizarea QR) a unei matrice este o descompunere a acelei matrice într-un produs dintre o matrice ortogonală și una triunghiulară. Descompunerea QR este adesea folosită pentru a rezolva problema celor mai mici pătrate. Descompunerea QR stă și la baza unui algoritm de aflare a valorilor proprii, algoritmul QR.

DefinițieModificare

O descompunere QR a unei matrice pătrate reale A este o descompunere a lui A de forma

 

unde Q este o matrice ortonormală (cu proprietatea că QTQ = I ) și R este o matrice superior triunghiulară. Analog, se pot defini descompunerile QL, RQ și LQ ale lui A.

Mai general, se poate factoriza o matrice complexă  ×  (cu mn) sub forma unui produs dintre o matrice unitară  ×  (în sensul că QQ = I ) și o matrice  ×  superior triunghiulară.

Dacă A este nesingulară, atunci această factorizare este unică dacă se pune condiția ca elementele diagonale ale lui R să fie pozitive.

Calculul descompunerii QRModificare

Există câteva metode pentru calculul efectiv al descompunerii QR, cum ar fi cele cu ajutorul procedeului Gram–Schmidt, transformărilor Householder, sau al rotațiilor Givens. Fiecare metodă are avantaje și dezavantaje.

Descompunerea QR prin procedeul Gram-SchmidtModificare

Se consideră procedeul Gram–Schmidt, unde vectorii considerați în procedeu sunt coloanele matricei  . Se definește   unde  .

Atunci

 
 
 
 
 

Atunci se rearanjează ecuațiile de mai sus astfel încât  s să fie în stânga și rezultă următoarele ecuații.

 
 
 
 
 


Se observă că deoarece   sunt vectori unitate, avem următoarele.

 
 
 
 
 

Aceste ecuații pot fi scrise sub formă matriceală după cum urmează.

 

Dar produsul fiecărui rând și coloană al matricelor de mai sus ne dau o coloană corespunzătoare a matricei A inițiale, și împreună, ne dau matricea A, deci am factorizat pe A într-o matrice ortogonală Q (matricea formată din ek), via Gram Schmidt, și evident, matricea superior triunghiulară este restul R.

Altfel,   poate fi calculată după cum urmează:

Dat fiind că   avem

 

Se observă că     și  , deci  .

ExempluModificare

Se cere descompunerea lui

 

Fie matricea ortogonală   astfel încât

 

Atunci putem calcula   prin Gram-Schmidt astfel:

 
 

Deci avem:

 
 

Efectuând operația cu ajutorul MATLAB, admițând erorile de rotunjire datorate operațiilor cu precizie finită, se obține:  

 

Calculul QR cu ajutorul reflectorilor HouseholderModificare

Un reflector Householder (sau transformare Householder) este o transformare operată asupra unui vector pe care îl reflectă față de un plan. Putem folosi această proprietate pentru a calcula factorizarea QR a unei matrice.

Q poate fi folosită pentru a reflecta un vector în așa fel încât dispar toate coordonatele mai puțin una.

Fie   un vector-coloană arbitrar m-dimensional cu proprietatea că || || = |α| pentru un scalar α. Dacă algoritmul este implementat folosind aritmetica în virgulă mobilă, atunci α trebuie să aibă semnul opus primei coordonate a lui   pentru a evita pierderea de semnificație. Dacă   e un vector complex, atunci definiția

 

ar trebui să fie utilizată (Stoer,Bulirsch,2002,p.225).

Atunci, unde   este vectorul (1,0,...,0)T, și ||·|| norma euclidiană, fie

 
 
 

  este o matrice Householder și

 

Aceasta se poate folosi treptat pentru a transforma o matrice m-pe-n A în forma superior triunghiulară. Întâi, se înmulțește A cu matricea Householder Q1 obținută prin alegerea primei coloane pentru x. Aceasta are ca rezultat o matrice QA cu zerouri în coloana din stânga (cu excepția primului rând).

 

Aceasta se poate repeta pentru A′ (obținută din Q1A ștergând primul rând și prima coloană), având ca rezultat o matrice Householder Q2. Se observă că Q2 este mai mică decât Q1. Deoarece este de dorit ca ea să opereze asupra lui Q1A în loc de A′ trebuie să fie extinsă spre sus și stânga, completând-o cu un 1, sau în general:

 

După   iterații ale acestui proces,  ,

 

este o matrice superior triunghiulară. Deci, cu

 

  is a QR decomposition of  .

Aceasta metodă are o stabilitate numerică superioară metodei Gram-Schmidt descrisă mai sus.

Tabelul următor dă numărul de operații în pasul k al descompunerii QR prin transformări Householder, presupunând o matrice pătrată de dimensiune n.

Operație Număr de operații în pasul k
înmulțiri  
adunări  
împărțiri  
rădăcini pătrate  

Adunând aceste numere pe cei   pași (pentru o matrice pătrată de dimensiune n), complexitatea algoritmului este dată de

 

ExempluModificare

Se va calcula descompunerea matricei

 

Întâi, trebuie să fie găsit un reflector care transformă prima coloană a lui A, vector  , în  

Acum,

 

și

 .

Aici,

  and  

Deci

  and  , și apoi
 
 
 

Se observă că:

 

deci avem deja o matrice aproape triunghiulară. Trebuie doar adusă la zero valoarea de pe poziția (3, 2).

Se ia minorul (1, 1) minor, și se aplică din nou procedeul pe

 

Prin aceeași metodă ca mai sus, se obține matricea de transformare Householder

 

după efectuarea unei sume directe cu 1 pentru a ne asigura că următorul pas din procedeu funcționează corect.

Se găsește

 
 

Matricea Q este ortogonală iar R este superior triunghiulară, deci A = QR este descompunerea QR căutată.

BibliografieModificare

  • Horn, Roger A. (). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.  Citare cu parametru depășit |coauthors= (ajutor). Section 2.8.
  • Stoer, Josef (). Introduction to Numerical Analysis (ed. 3rd). Springer. ISBN 0-387-95452-X.  Citare cu parametru depășit |coauthors= (ajutor).