Minor (algebră liniară)

În algebra liniară, conceptele de minor și complement algebric sunt necesare dezvoltării unui determinant cu ajutorul teoremei lui Laplace.

Fie $A=(a_{ij})$ o matrice de ordinul n. Prin minorul complementar al elementului $a_{ij}$ se înțelege determinantul de ordinul n-1 și notat $D_{ji}.$ Complementul algebric al lui $a_{ij}$ este numărul $\alpha _{ij}=(-1)^{i+j}D_{ji}.$

Există relațiile:

$\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\cdot \alpha _{kj}=D\delta _{ij},\;\;\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\cdot \alpha _{jk}=D\delta _{ij},\;\delta _{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j,\\1,&i=j.\end{cases}}$

Pentru $i=j$ se obține:

$\sum _{k=1}^{n}a_{ik}\cdot \alpha _{ki}=D,\;\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\cdot \alpha _{ik}$

(formule de dezvoltare a determinantului după elementele unei linii sau unei coloane)

Fie acum un $r<n.$ Se numește minor de ordinul r în $\mathbf {D}$ un determinant $M,$ format cu r linii și r coloane din $\mathbf {D} .$ Se numește minor complementar minorului $M$ de ordin r, minorul $N$ obținut din $\mathbf {D}$ prin suprimarea celor r linii și r coloane ale lui $M.$ Complementul algebric al minorului $M$ este numărul $M'=(-1)^{s(M)}\cdot N,\;\;s(M)$ fiind suma indicilor liniilor și coloanelor care determină $M.$

Exemplu

Pentru determinantul $D={\begin{vmatrix}2&3&-1\\-6&-5&0\\2&7&4\end{vmatrix}},$ complementele algebrice ai elementelor acestuia sunt:

$\alpha _{11}=-5\cdot 4=-20,\;\alpha _{12}=-(-6)\cdot 4=24,\;\alpha _{13}=-6\cdot 7-[2\cdot (-5)]=-32,$

$\alpha _{21}=-(3\cdot 4+7\cdot 1)=-21,\;\alpha _{22}=8+2=10,\;\alpha _{23}=-(14-6)=-8,$

$\alpha _{31}=-5,\;\alpha _{32}=6,\;\alpha _{33}=-2\cdot 5+6\cdot 3=8.$