În algebra liniară , conceptele de minor și complement algebric sunt necesare dezvoltării unui determinant cu ajutorul teoremei lui Laplace .
Fie
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle A=(a_{ij})}
matrice de ordinul n .
Prin minorul complementar al elementului
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
n-1 și notat
D
j
i
.
{\displaystyle D_{ji}.}
Complementul algebric al lui
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
α
i
j
=
(
−
1
)
i
+
j
D
j
i
.
{\displaystyle \alpha _{ij}=(-1)^{i+j}D_{ji}.}
Există relațiile:
∑
k
=
1
n
a
k
i
⋅
α
k
j
=
D
δ
i
j
,
∑
k
=
1
n
a
k
i
⋅
α
j
k
=
D
δ
i
j
,
δ
i
j
=
{
0
,
i
≠
j
,
1
,
i
=
j
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}\cdot \alpha _{kj}=D\delta _{ij},\;\;\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\cdot \alpha _{jk}=D\delta _{ij},\;\delta _{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j,\\1,&i=j.\end{cases}}}
Pentru
i
=
j
{\displaystyle i=j}
∑
k
=
1
n
a
i
k
⋅
α
k
i
=
D
,
∑
k
=
1
n
a
k
i
⋅
α
i
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{ik}\cdot \alpha _{ki}=D,\;\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\cdot \alpha _{ik}}
(formule de dezvoltare a determinantului după elementele unei linii sau unei coloane)
Fie acum un
r
<
n
.
{\displaystyle r<n.}
minor de ordinul r în
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
M
,
{\displaystyle M,}
r linii și r coloane din
D
.
{\displaystyle \mathbf {D} .}
minor complementar minorului
M
{\displaystyle M}
r , minorul
N
{\displaystyle N}
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
r linii și r coloane ale lui
M
.
{\displaystyle M.}
Complementul algebric al minorului
M
{\displaystyle M}
M
′
=
(
−
1
)
s
(
M
)
⋅
N
,
s
(
M
)
{\displaystyle M'=(-1)^{s(M)}\cdot N,\;\;s(M)}
M
.
{\displaystyle M.}
Pentru determinantul
D
=
|
2
3
−
1
−
6
−
5
0
2
7
4
|
,
{\displaystyle D={\begin{vmatrix}2&3&-1\\-6&-5&0\\2&7&4\end{vmatrix}},}
α
11
=
−
5
⋅
4
=
−
20
,
α
12
=
−
(
−
6
)
⋅
4
=
24
,
α
13
=
−
6
⋅
7
−
[
2
⋅
(
−
5
)
]
=
−
32
,
{\displaystyle \alpha _{11}=-5\cdot 4=-20,\;\alpha _{12}=-(-6)\cdot 4=24,\;\alpha _{13}=-6\cdot 7-[2\cdot (-5)]=-32,}
α
21
=
−
(
3
⋅
4
+
7
⋅
1
)
=
−
21
,
α
22
=
8
+
2
=
10
,
α
23
=
−
(
14
−
6
)
=
−
8
,
{\displaystyle \alpha _{21}=-(3\cdot 4+7\cdot 1)=-21,\;\alpha _{22}=8+2=10,\;\alpha _{23}=-(14-6)=-8,}
α
31
=
−
5
,
α
32
=
6
,
α
33
=
−
2
⋅
5
+
6
⋅
3
=
8.
{\displaystyle \alpha _{31}=-5,\;\alpha _{32}=6,\;\alpha _{33}=-2\cdot 5+6\cdot 3=8.}
![{\displaystyle \alpha _{11}=-5\cdot 4=-20,\;\alpha _{12}=-(-6)\cdot 4=24,\;\alpha _{13}=-6\cdot 7-[2\cdot (-5)]=-32,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ff3d8305de08f5148aca02315be214331dff94)
