Deschide meniul principal

În cadrul topologiei, dimensiunea Hausdorff este un număr real pozitiv, asociat unui spațiu metric și extinde noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial real. A fost introdusă în 1918 de către Felix Hausdorff și dezvoltată ulterior de către Abram Samoilovici Bezicovici, de unde și denumirea de dimensiune Hausdorff-Bezicovici.

DefinițieModificare

 
Triunghiul lui Sierpinski, un spaţiu având dimensiunea fractală ln 3/ln 2, ori log23, care este circa 1,58.

Dimensiunea Hausdorff ne oferă un mijloc uzual de calculare a dimensiunii unui spațiu metric.

 
 
 

ExempluModificare

Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul   :

  • Pentru  
Pentru   , fie numărul natural   astfel ales încât   .
Cu acoperirea specială
    pentru   pentru  .
Urmează
 .


  • Pentru  
Deoarece   , avem:
  .
Cum însă   intervalul   acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puțin 1:
 
Rezultă:
  .
Deci:
  .
  • Pentru  :
Considerând cele două cazuri anterioare, obținem:
  .
Așadar:
 .

Cazuri concreteModificare

  • Cercul are dimensiune Hausdorff 1.
  • Dimensiunea Hausdorff a reprezentării triadice Cantor este     .
  • Dimensiunea Hausdorff a triunghiului lui Sierpinski este     .


BibliografieModificare

  • Besicovitch, A.S. - On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions, Mathematische Annalen 101 (1929)
  • Mandelbrot, Benoît - The Fractal Geometry of Nature, Lecture notes in mathematics, W. H. Freeman, 1982. ISBN 0-7167-1186-9.

Vezi șiModificare

Legături externeModificare