Distribuția Gauss

Distribuția normală este o distribuție de probabilitate continuă. Este numită de asemenea distribuția Gauss deoarece a fost descoperită de către Carl Friedrich Gauss.

Funcția densitate de probabilitate pentru distribuția normală; linia verde este distribuția normală standard

Distribuția normală standard (cunoscută,de asemenea, sub numele de distribuție Z) este distribuția normală cu media zero și variația 1 (curbele verzi în imaginea din dreapta). Acesta este adesea numită curba lui Gauss, deoarece graficul densității de probabilitate arată ca un clopot.

Se notează cu: N(μ,σ), unde μ și σ sunt parametrii din funcția de distribuție care va fi descrisă în continuare.

Proprietăți

Densitatea de repartiție

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

Media

$M(X)\,$ = $\int _{-\infty }^{\infty }x.f(x)\,dx$ = $\int _{-\infty }^{\infty }x.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx$ = $\mu$

Dispersia

$\sigma ^{2}(X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-M(X))^{2}.f(x)\,dx$=$\int _{-\infty }^{\infty }(x-M(X))^{2}.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx$=$\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}.{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx$=$\sigma ^{2}$

Entropia

$H[f]=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))\,dx$ = $-\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\ln({\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}})\,dx$ = $\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!$

Funcția de repartiție cumulativă

Funcția de repartiție cumulativă este funcția

$F(t)$=$\int _{-\infty }^{t}f(x)\,dx$=${\frac {1}{\sigma .{\sqrt {2\pi }}}}$ $\int _{-\infty }^{t}x.e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx$

Pentru repartiția N(0,1), această funcție este numită "funcția lui Laplace", și este dată de

$\phi (t)$=${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$$\int _{-\infty }^{t}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx$

Pentru o repartiție normală oarecare N(μ,σ), se verifică prin schimbarea de variabilă x->(x-μ)/σ că

$P(X<x)$=$\phi ({\frac {x-\mu }{\sigma }})$

Repartiția variabilei (X-μ)/σ

Pornind de la proprietățile operatorilor de medie și dispersie

• M(X − μ) = M(X)− μ
• D(X − μ) = D(X)
• D(X/σ)=(1/σ²) D(X)

se obține că, dacă o variabilă aleatoare este normal repartizată N(μ,σ), atunci variabila aleatoare redusă

${\frac {X-\mu }{\sigma }}$

este repartizată N(0,1).

Suma a n variabile independente având repartițiile N(μ_k,σ_k)

Dacă X_k:N(μ_k,σ_k), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci suma lor X₁+X₂+...+X_n are repartiția:

$N(\sum _{k=1}^{n}{\mu }_{k},{\sqrt {(}}\sum _{k=1}^{n}{\sigma }_{k}^{2})).$

Ca o consecință imediată a acestui rezultat:

Media aritmetică a n variabile independente având repartiția N(μ,σ)

Dacă X_k:N(μ,σ), k=1,...,n - sunt variabile aleatoare independente, atunci media lor aritmetică (X₁+X₂+...+X_n)/n are repartiția:

$N(\mu ,{\frac {\sigma }{{\sqrt {(}}n)}})$

Teorema limită centrală (Laplace)

Reprezintă una din cele mai puternice și mai utilizate proprietăți ale distribuției Gauss. Teorema este următoarea:

Dacă X_k - sunt variabile aleatoare independente având aceeași medie $\mu$ și dispersia $\sigma ^{2}$, atunci limita mediei lor aritmetice (X₁+X₂+...+X_n)/n atunci cand $n->\infty$ are proprietatea:

${\frac {1}{\sigma /{\sqrt {(}}n)}}({\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}-\mu )->N(0,1)$

Rezultă că ${\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}$ se aproximează cu $N(\mu ,{\frac {\sigma }{n}})$ pentru $n->\infty$

Regula celor 3σ

O variabilă normal repartizată X:N(μ,σ) ia valori semnicative numai în intervalul (μ-3σ,μ+3σ). Într-adevăr, $P({|X-\mu |>=3\sigma })=1-P({|X-\mu |<3\sigma })=1-\phi (3)=0,0027$, valoare care în unele situații poate fi neglijată.

Vezi și

• Distribuție de probabilitate
• Distribuția binomială
• Distribuția Rayleigh
• Variabilă aleatoare
• Rugozitate#Filtre

Legături externe

• Free Area Under the Normal Curve Calculator from Daniel Soper's Free Statistics Calculators website. Computes the cumulative area under the normal curve (i.e., the cumulative probability), given a z-score.
• Interactive Distribution Modeler (incl. Normal Distribution).
• GNU Scientific Library – Reference Manual – The Gaussian Distribution
• Normal Distribution Table
• Download free two-way normal distribution calculator
• Download free normal distribution fitting software
• http://www.pruteanu.ro/704reflec_files/gauss.htm Arhivat în 30 mai 2013, la Wayback Machine.