Formula lui Heron

În geometrie, formula lui Heron, descoperită de Heron din Alexandria, este o expresie matematică prin care se poate calcula suprafața unui triunghi oarecare fiind date lungimile celor trei laturi.

Un triunghi de laturi a, b și c.

Triunghiul lui Heron

Dacă ABC este un triunghi oarecare, cu laturile a, b și c, atunci suprafața sa este dată de formula:

$A_{ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

unde $\scriptstyle p={\frac {(a+b+c)}{2}}$ reprezintă semiperimetrul triunghiului dat.

Poate fi demonstrată trigonometric sau cu teorema lui Pitagora.

Poate fi extinsă în trigonometrie sferică. Extinderea a fost efectuată de Simon Antoine Jean L'Huilier.

Demonstrații

Demonstrația lui Heron

Demonstrația lui Heron se bazează pe cinci propoziții geometrice.

Demonstrație algebrică utilizând teorema lui Pitagora

Triunghi în care înălțimea h segmentează baza c în d + (c − d)

Următoarea demonstrație este adaptată după Raifaizen. Prin teorema lui Pitagora se poate scrie egalitatea $b^{2}=h^{2}+d^{2}$ și $a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}$ după figura din dreapta. Prin scădere rezultă $a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd.$ Această egalitate permite exprimarea lui $d$ in funcție de lungimea laturilor triunghiului :

$d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.$

Înălțimea triunghiului este $h^{2}=b^{2}-d^{2}.$ Substituind $d$ cu formula de mai sus și utilizând identitatea diferenței de pătrate se obține

${\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}$

Acest rezultat utilizat mai departe în expresia ariei unui triunghi pe baza unei înălțimi dă:

${\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$