Formula lui Legendre

În matematică, formula lui Legendre oferă o expresie pentru exponentul celei mai mari puteri a unui număr prim p care divide factorialul n!. Este numită după Adrien-Marie Legendre, dar este cunoscută uneori și ca formula lui de Polignac, după Alphonse de Polignac.

Enunț

Pentru orice număr prim p și orice număr întreg pozitiv n, fie $\nu _{p}(n)$ exponentul celei mai mari puteri a lui p care divide n (adică valuarea p-adică a lui n). Atunci

$\nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor ,$

unde $\lfloor x\rfloor$ este funcția parte întreagă. Deși suma din membrul drept este o sumă infinită, pentru orice valori particulare ale lui n și p ea are doar un număr finit de termeni nenuli: pentru orice i suficient de mare încât $p^{i}>n$, are loc $\textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =0$. Aceasta reduce suma infinită de mai sus la

$\nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{L}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor ,$

unde $L=\lfloor \log _{p}n\rfloor$.

Exemplu

Pentru $n=6$ avem $6!=720=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}$. Exponenții $\nu _{2}(6!)=4,\nu _{3}(6!)=2$ și $\nu _{5}(6!)=1$ pot fi calculați cu ajutorul formulei lui Legendre după cum urmează:

${\begin{aligned}\nu _{2}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{2^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor =3+1=4,\\[3pt]\nu _{3}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{3^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{3}}\right\rfloor =2,\\[3pt]\nu _{5}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{5}}\right\rfloor =1.\end{aligned}}$

Demonstrație

Cum $n!$ este produsul numerelor întregi de la $1$ la $n$, obținem cel puțin un factor al lui $p$ în $n!$ pentru fiecare multiplu al lui $p$ din $\{1,2,\dots ,n\}$, aceștia fiind în total$\textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor$. Fiecare multiplu de $p^{2}$ contribuie cu un factor $p$ suplimentar, fiecare multiplu de $p^{3}$ contribuie cu încă un factor $p$ etc. Adunând numărul acestor factori se obține suma infinită pentru $\nu _{p}(n!)$.

Formă alternativă

Formula lui Legendre poate fi rescrisă în funcție de termenii reprezentării lui n în baza p. Fie $s_{p}(n)$ suma cifrelor din reprezentarea în baza p a lui n; atunci

$\nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.$

De exemplu, scriindu-l pe n = 6 în baza 2 ca 6₁₀ = 110₂, avem $s_{2}(6)=1+1+0=2$ și, deci,

$\nu _{2}(6!)={\frac {6-2}{2-1}}=4.$

În mod similar, scriindu-l pe 6 în baza 3 ca 6₁₀ = 20₃, avem $s_{3}(6)=2+0=2$ și, deci,

$\nu _{3}(6!)={\frac {6-2}{3-1}}=2.$

Demonstrație

Se scrie $n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}$ în baza p. Atunci $\textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}$ și, prin urmare,

${\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=\sum _{i=1}^{\ell }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \\&=\sum _{i=1}^{\ell }\left(n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{\ell }\sum _{j=i}^{\ell }n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }\sum _{i=1}^{j}n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&=\sum _{j=0}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&={\frac {1}{p-1}}\sum _{j=0}^{\ell }\left(n_{j}p^{j}-n_{j}\right)\\&={\frac {1}{p-1}}\left(n-s_{p}(n)\right).\end{aligned}}$

Aplicații

Formula lui Legendre poate fi folosită pentru a demonstra teorema lui Kummer. Ca un caz particular, poate fi folosită pentru a demonstra că dacă n este un număr întreg pozitiv, atunci 4 divide ${\binom {2n}{n}}$ dacă și numai dacă n nu este o putere a lui 2.

Din formula lui Legendre rezultă că funcția exponențială p-adică are raza de convergență $p^{-1/(p-1)}$.

Bibliografie

• Legendre, A. M. (1830), Théorie des Nombres, Paris: Firmin Didot Frères 
• Moll, Victor H. (2012), Numbers and Functions, American Mathematical Society, ISBN 978-0821887950, MR 2963308 , pagina 77
• Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Volumul 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, pagina 263.

Legături externe

• Eric W. Weisstein, Factorial la MathWorld.