Valuare p-adică

În teoria numerelor, valuarea p-adică sau ordinul p-adic al unui număr întreg n este exponentul celei mai mari puteri a numărului prim p care îl divide pe n. Se notează cu $\nu _{p}(n)$. Echivalent, $\nu _{p}(n)$ este exponentul la care apare $p$ în descompunerea în factori primi a lui $n$.

Valuarea p-adică este o valuare și dă naștere unui analog al valorii absolute obișnuite. În timp ce completarea numerelor raționale în raport cu valoarea absolută obișnuită are ca rezultat numerele reale $\mathbb {R}$, completarea numerelor raționale în raport cu valoarea absolută $p$-adică are ca rezultat numerele p-adice $\mathbb {Q} _{p}$.

Distribuția numerelor naturale prin valuarea lor 2-adică, etichetate cu puterile lui doi corespunzătoare în scriere zecimală. Zero are o valuare infinită.

Definiție și proprietăți

Fie p un număr prim.

Numere întregi

Valuarea p-adică a unui număr întreg $n$ este definită ca fiind

$\nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{dacă }}n\neq 0\\\infty &{\text{dacă }}n=0,\end{cases}}$

unde $\mathbb {N} _{0}$ desemnează mulțimea numerelor naturale (inclusiv zero) și $m\mid n$ denotă divizibilitatea lui $n$ prin $m$. În particular, $\nu _{p}$ este o funcție $\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$.

De exemplu, $\nu _{2}(-12)=2$, $\nu _{3}(-12)=1$ și $\nu _{5}(-12)=0$ deoarece $|{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}$.

Uneori se folosește notația $p^{k}\parallel n$, însemnând $k=\nu _{p}(n)$.

Dacă $n$ este un număr întreg pozitiv, atunci

$\nu _{p}(n)\leq \log _{p}n$;

aceasta rezultă direct din $n\geq p^{\nu _{p}(n)}$.

Numere raționale

Valuarea p-adică poate fi extinsă la numerele raționale prin funcția

$\nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$

definită prin

$\nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).$

De exemplu, $\nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3$ și $\nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2$ deoarece ${\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}$.

Unele proprietăți sunt:

$\nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s),$

$\nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}.$

Mai mult, dacă $\nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)$, atunci

$\nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}},$

unde $\min$ este minimul (adică cel mai mic dintre cele două).

Valoarea absolută p-adică

Valoarea absolută p-adică pe $\mathbb {Q}$ este funcția

$|\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

definită prin

$|r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.$

Astfel, $|0|_{p}=p^{-\infty }=0$ pentru orice $p$ și, de exemplu, $|{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}$ și ${\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.$

Valoarea absolută p-adică este:

nenegativă	$|r|_{p}\geq 0$
pozitiv definită	$|r|_{p}=0\iff r=0$
multiplicativă	$|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$
nearhimediană	$|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$

Din proprietatea de multiplicativitate $|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$ rezultă că $|1|_{p}=1=|-1|_{p}$ pentru rădăcinile unității $1$ și $-1$ și în consecință și $|{-r}|_{p}=|r|_{p}.$ Subaditivitatea $|r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}$ rezultă din inegalitatea triunghiului nearhimediană $|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$.

Alegerea bazei p în puterea $p^{-\nu _{p}(r)}$ nu face nicio diferență pentru majoritatea proprietăților, dar menține formula produsului:

$\prod _{0,p}|r|_{p}=1$

unde produsul se face după toate numerele prime p și valoarea absolută obișnuită, notată $|r|_{0}$. Aceasta rezultă considerând descompunerea în factori primi: fiecare factor $p^{k}$ contribuie prin inversul său la valoarea absolută p-adică a sa, iar apoi valoarea absolută arhimediană uzuală le simplifică pe toate.

Un spațiu metric poate fi format pe mulțimea $\mathbb {Q}$ cu o metrică (nearhimediană, invariantă la translații)

$d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

definită prin

$d(r,s)=|r-s|_{p}.$

Completarea lui $\mathbb {Q}$ în raport cu această metrică conduce la mulțimea $\mathbb {Q} _{p}$ a numerelor p-adice.

Vezi și

• Număr p-adic
• Valuare (algebră)
• Proprietate arhimediană
• Multiplicitate (matematică)
• Teorema lui Ostrowski
• Formula lui Legendre