Funcție Lommel

În matematică, Funcția Lommel este soluția ecuației diferențiale Lommel, care de fapt este o ecuație diferențială Bessel neomogenă, de forma:

$z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})y=kz^{\mu +1}.$

Funcțiile Lommel de o variabilă

Cazul cel mai comun este cel în care valoarea k = 1, iar soluțiile ecuației în acest caz sunt:

$y_{1}(z)=C1J_{\nu }(z)+C2Y_{\nu }(z)+s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)\,\!$

$y_{1}(z)=C1J_{\nu }(z)+C2Y_{\nu }(z)+s_{\mu ,\nu }^{(2)}(z)\,\!$

unde $s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)\,\!$ și $s_{\mu ,\nu }^{(2)}(z)\,\!$ sunt funcțiile lui Lommel, introduse de Eugen von Lommel, în 1880. De notat că funcția $s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)\,\!$ se mai notează simplificat cu $s_{\mu ,\nu }(z)\,\!$, iar $s_{\mu ,\nu }^{(2)}(z)\,\!$ cu $S_{\mu ,\nu }(z)\,\!$.

$s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)={\frac {1}{2}}\pi \left[Y_{\nu }(z)\int _{0}^{z}z^{\mu }J_{\nu }(z)\,dz-J_{\nu }(z)\int _{0}^{z}z^{\mu }Y_{\nu }(z)\,dz\right]$

$s_{\mu ,\nu }^{(2)}(z)=s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)-{\frac {2^{\mu -1}\Gamma ({\frac {1+\mu +\nu }{2}})}{\pi \Gamma ({\frac {\nu -\mu }{2}})}}\left(J_{\nu }(z)-\cos(\pi (\mu -\nu )/2)Y_{\nu }(z)\right)$

unde J_ν(z) este funcția Bessel de speța I-a, iar Y_ν(z) funcția Bessel de speța a II-a.

Funcțiile Lommel mai pot fi scrise sub forma:

$s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)=z^{\mu +1}{\frac {\displaystyle {}_{1}F_{2}(1;{\frac {1}{2}}(\mu -\nu +3),{\frac {1}{2}}(\mu +\nu +3);-{\frac {1}{4}}z^{2})}{(\mu +1)^{2}-\nu ^{2}}}$

${\begin{aligned}s_{\mu ,\nu }^{(2)}(z)&=z^{\mu +1}{\frac {\displaystyle {}_{1}F_{2}(1;{\frac {1}{2}}(\mu -\nu +3),{\frac {1}{2}}(\mu +\nu +3);{\frac {1}{4}}z^{2})}{(\mu +1)^{2}-\nu ^{2}}}\\&+z^{-\nu }{\frac {2^{\mu +\nu -1}\Gamma (\nu )\Gamma \left({\frac {1}{2}}(\mu +\nu +1)\right)\displaystyle {}_{0}F_{1}(;1-\nu ;-{\frac {1}{4}}z^{2})}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}(-\mu +\nu +1)\right)}}\\&+z^{\nu }{\frac {2^{\mu -\nu -1}\Gamma (-\nu )\Gamma \left({\frac {1}{2}}(\mu -\nu +1)\right)\displaystyle {}_{0}F_{1}(;1+\nu ;-{\frac {1}{4}}z^{2})}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}(-\mu -\nu +1)\right)}}\\\end{aligned}}$

în care $\displaystyle {}_{1}F_{2}(a;b,c;d)\,\!$ și $\displaystyle {}_{0}F_{1}(a;b;c)\,\!$ sunt serii hipergeometrice generalizate.

Relații funcționale pentru funcțiile de o variabilă

$s_{\mu +2,\nu }^{(1)}(z)=z^{\mu +1}-[(\mu +1)^{2}-\nu ^{2}]\,s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)$

$\left({\frac {d}{dz}}\right)\,s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)+\left({\frac {\nu }{z}}\right)\,s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)=(\mu +\nu -1)s_{\mu -1,\nu -1}^{(1)}(z)$

$\left({\frac {d}{dz}}\right)\,s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)-\left({\frac {\nu }{z}}\right)\,s_{\mu ,\nu }^{(1)}(z)=(\mu -\nu -1)s_{\mu -1,\nu +1}^{(1)}(z)$

Funcțiile Lommel de două variabile

Funcția $U_{\nu }(w,z)\,\!$ este o soluție particulară a ecuației diferențiale:

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{z}}{\frac {\partial U}{\partial z}}+{\frac {z^{2}U}{w^{2}}}=\left({\frac {w}{z}}\right)^{\mu -2}J_{\nu }(z)$

și este dată de relația:

$U_{\nu }(w,z)=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}\left({\frac {w}{z}}\right)^{\nu +2m}J_{\nu +2m}(z)$

Funcția $V_{\nu }(w,z)\,\!$ este o soluție particulară a ecuației diferențiale:

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{z}}{\frac {\partial V}{\partial z}}+{\frac {z^{2}V}{w^{2}}}=\left({\frac {w}{z}}\right)^{\mu }J_{-\nu +2}(z)$

și este dată de relația:

$V_{\nu }(w,z)=\cos \left[{\frac {1}{2}}\left(w+{\frac {z^{2}}{w}}+\nu \pi \right)\right]\,+\,U_{-\nu +2}(w,z)$

Relații funcționale pentru funcțiile de două varabile

$2{\frac {\partial }{\partial w}}U_{\nu }(w,z)=U_{\nu -1}(w,z)+\left({\frac {z}{w}}\right)^{2}U_{\nu +1}(w,z)$

$2{\frac {\partial }{\partial w}}V_{\nu }(w,z)=V_{\nu +1}(w,z)+\left({\frac {z}{w}}\right)^{2}V_{\nu -1}(w,z)$

Vezi și

• Funcție Anger
• Polinomul Lommel
• Funcție Struve
• Funcție Weber

Referințe

• Erdélyi, Arthur; Magnus,Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G, (1953), Higher transcendental functions. Vol II, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, MR0058756
• Lommel,E, (1875), Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function, Math Ann 9: 425-444, 10.1007/BF01443342^{[nefuncțională]}
• Lommel,E, (1880), Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV, Math. Ann. 16: 183–208 10.1007/BF01446386^[nefuncțională]
• Solomentsev, E.D. (2001) Lommel function, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publisher, 978-1556080104
• Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1995) Cambridge University Press. ISBN: 0-521-48391-3.

Legături externe

• Weisstein, Eric W. "Lommel Differential Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• Weisstein, Eric W. "Lommel Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.