Funcție armonică

Funcție armonică este un termen folosit în matematică (mai ales în teoria probabilităților), fizică și se referă la acele funcții dublu derivabile $f:U\rightarrow \mathbb {R}$, unde $U$ este o mulțime deschisă a lui $\mathbb {R} ^{n}$, care satisface ecuația lui Laplace:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x^{2}}_{1}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}^{2}}}\;+\;\cdots \;+\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{n}}^{2}}}\;=\;0$ pe întreg intervalul U. Într-o notație mai compactă se mai poate scrie:

$\nabla ^{2}f\;=\;0$ sau $\Delta f\;=\;0$ .

O funcție armonică este deci, prin definiție, o soluție a ecuației lui Laplace.

Exemple

Exemple de funcții armonice cu două variabile:

• partea reală și partea imaginară a oricărei funcții olomorfe
• funcția

$f(x_{1},x_{2})\;=\;ln({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})$

definită pe $\mathbb {R} ^{2}\backslash \{0\}$, de exemplu potențialul electric produs de un fir încărcat sau potențialul gravitațional datorat unei mase cilindrice.

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957

Vezi și

• serie Fourier
• ecuația lui Poisson

Legături externe

• en Funcții armonice la MathWorld.
• en Teoria funcțiilor armonice la Axler.Net.