Deschide meniul principal

În analiza complexă, o funcție complexă este olomorfă într-un punct al planului complex dacă este complex derivabilă într-o vecinătate a punctului. O asemenea funcție poate fi olomorfă și pe o întreagă mulțime deschisă din planul complex dacă este olomorfă în fiecare punct din mulțime.

Cuprins

DefinițieModificare

Fie   o submulțime deschisă, nevidă, conexă a lui  .

Funcția   este complex derivabilă într-un punct   dacă există limita:

 .

În cazul în care funcția   este complex derivabilă în fiecare punct din vecinătatea lui  , aceasta se numește funcție olomorfă în punctul  .

Noțiunea de olomorfie extinde deci noțiunile de derivabilitate și continuitate din analiza reală în cea complexă.

TermenulModificare

Termenul olomorf este un neologism derivat de la rădăcinile grecești ὅλος (holos), cu înțelesul de "întreg", și μορφή (morphē), cu înțelesul de "formă" sau "înfățișare".[1]

Același înțeles cu funcție olomorfă îl au și sintagmele funcție analitică sau "funcție regulată".

ProprietățiModificare

Funcțiile olomorfe alcătuiesc obiectul de studiu principal al analizei complexe, având o serie proprietăți utile.

Ecuațiile Cauchy-RiemannModificare

O proprietate a oricărei funcții olomorfe este îndeplinirea ecuațiilor diferențiale Cauchy-Riemann, ceea ce nu este însă și suficient pentru olomorfia unei funcții - pe lângă acestea trebuie ca Re(f)=u(x,y) și Im(f)=v(x,y) să fie R-diferențiabile. Pentru fiecare funcție olomorfă  , având părțile reale și imaginare deci definite la rândul lor ca funcțiile reale   și  , rezultă:

  și  

Funcții armoniceModificare

O altă proprietate importantă este, că pentru aceeași funcție  , atât   cât și   sunt funcții armonice, adică derivatele de ordinul doi după fiecare variabilă dependentă însumate dau zero. Pentru prescurtare se folosește adesea operatorul Laplace ( ):

  și  

ExempleModificare

Luând ca exemplu funcția complexă   se poate verifica olomorfia pe întreaga mulțime a numerelor complexe verificând proprietățile de mai sus.

Ecuațiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite:

  și  

Atât   cât și   sunt funcții armonice:

  și  

NoteModificare

BibliografieModificare

  • Stoilow, S. - Teoria funcțiilor de o variabilă complexă, București, 1954
  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  1. ^ Markushevich, A.I. () [1977]. Theory of functions of a Complex Variable (ed. 2nd ed.). New York: American Mathematical Society. p. 112. ISBN 0-8218-3780-X.  Citare cu parametru depășit |coauthors= (ajutor)

Vezi șiModificare

Legături externeModificare