Funcție convexă

În matematică, o funcție reală de o variabilă reală este convexă pe un interval atunci când graficul său se află sub dreapta care unește punctele ce reprezintă valoarea funcției în extremitățile intervalului.

Graficul unei funcţii convexe

Funcțiile convexe jocă un rol important în multe domenii din matematică, de exemplu în probleme de optimizare, în rezolvarea inecuațiilor prin utilizarea inegalității lui Jensen și a inegalității lui Hölder, și în rezolvarea anumitor ecuații.

Noțiuni introductiveModificare

Definiție: Fie   un interval și   o funcție.

  este convexă dacă   și   este satisfăcută inegalitatea  

  este strict convexă dacă   și   este satisfăcută inegalitatea  

  este concavă dacă   și   este satisfăcută inegalitatea  

  este strict concavă dacă   și   este satisfăcută inegalitatea  

Semnificație geometricăModificare

Fie  ; fixăm   și  , evident  . Punctul   se află pe graficul funcției  , iar punctul   se găsește pe segmentul  , unde  . Dacă   este convexă atunci graficul funcției se află sub coarda care trece prin punctele   și  .

ProprietățiModificare

Teoremă (criteriu de convexitate). Fie   un interval și   o funcție de două ori derivabilă pe I. Funcția   este convexă pe   dacă și numai dacă  .

Teoremă. Fie   funcții convexe definite pe mulțimea convexă  . Atunci funcția   este convexă pe  , oricare  .

Teoremă (Inegalitatea lui Jensen). Fie funcția convexă  . Pentru     cu   și    ,     cu   are loc inegalitatea  .

Demonstrație: Se demonstrează prin inducție.
Cazul   este chiar definiția funcției convexe. Presupunem adevărată afirmația pentru   și să demonstrăm pentru  .
Fie deci   și   cu  .

  1. Dacă   atunci concluzia rezultă imediat.
  2. Dacă   atunci
 

unde  
Conform ipotezei avem:  

ExempleModificare

  • Funcția   este convexă.
  • Funcția   este convexă.

BibliografieModificare

  1. Viorel Lupușor, Vasile Pop, Matematică pentru grupele de performanță, clasa a XI-a, Dacia Educațional, 2004.
  2. Mihail Megan, Bazele Analizei Matematice, vol. 2, Editura Eurobit Timișoara, 1997.
  3. Gheorghe Sirețchi, Calcul Diferențial și Integral, Ed. Științifică și Enciclopedică, București, 1985.

Vezi șiModificare