În matematică , o funcție reală de o variabilă reală este convexă pe un interval atunci când graficul său se află sub dreapta care unește punctele ce reprezintă valoarea funcției în extremitățile intervalului.
Graficul unei funcţii convexe Funcțiile convexe jocă un rol important în multe domenii din matematică, de exemplu în probleme de optimizare , în rezolvarea inecuațiilor prin utilizarea inegalității lui Jensen și a inegalității lui Hölder , și în rezolvarea anumitor ecuații .
Definiție: Fie
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }
f
:
I
→
R
{\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
∀
x
1
,
x
2
∈
I
{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in I}
∀
λ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \forall \lambda \in (0,1)}
f
(
(
1
−
λ
)
x
1
+
λ
x
2
)
≤
(
1
−
λ
)
f
(
x
1
)
+
λ
f
(
x
2
)
.
{\displaystyle f((1-\lambda )x_{1}+\lambda x_{2})\leq (1-\lambda )f(x_{1})+\lambda f(x_{2}).}
f
{\displaystyle f}
∀
x
1
,
x
2
∈
I
{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in I}
∀
λ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \forall \lambda \in (0,1)}
f
(
(
1
−
λ
)
x
1
+
λ
x
2
)
<
(
1
−
λ
)
f
(
x
1
)
+
λ
f
(
x
2
)
.
{\displaystyle f((1-\lambda )x_{1}+\lambda x_{2})<(1-\lambda )f(x_{1})+\lambda f(x_{2}).}
f
{\displaystyle f}
concavă dacă
∀
x
1
,
x
2
∈
I
{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in I}
∀
λ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \forall \lambda \in (0,1)}
f
(
(
1
−
λ
)
x
1
+
λ
x
2
)
≥
(
1
−
λ
)
f
(
x
1
)
+
λ
f
(
x
2
)
.
{\displaystyle f((1-\lambda )x_{1}+\lambda x_{2})\geq (1-\lambda )f(x_{1})+\lambda f(x_{2}).}
f
{\displaystyle f}
∀
x
1
,
x
2
∈
I
{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in I}
∀
λ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \forall \lambda \in (0,1)}
f
(
(
1
−
λ
)
x
1
+
λ
x
2
)
>
(
1
−
λ
)
f
(
x
1
)
+
λ
f
(
x
2
)
.
{\displaystyle f((1-\lambda )x_{1}+\lambda x_{2})>(1-\lambda )f(x_{1})+\lambda f(x_{2}).}
Fie
f
:
I
→
R
{\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }
x
1
,
x
2
∈
I
,
x
1
<
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}\in I,x_{1}<x_{2}}
0
<
λ
<
1
{\displaystyle 0<\lambda <1}
x
0
=
(
1
−
λ
)
x
1
+
λ
x
2
∈
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle x_{0}=(1-\lambda )x_{1}+\lambda x_{2}\in (x_{1},x_{2})}
C
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
{\displaystyle C(x_{0},f(x_{0}))}
f
{\displaystyle f}
C
1
(
x
0
,
(
1
−
λ
)
f
(
x
1
)
+
λ
f
(
x
2
)
)
{\displaystyle C_{1}(x_{0},(1-\lambda )f(x_{1})+\lambda f(x_{2}))}
[
A
B
]
{\displaystyle [AB]}
A
(
x
1
,
f
(
x
1
)
)
,
B
(
x
2
,
f
(
x
2
)
)
{\displaystyle A(x_{1},f(x_{1})),B(x_{2},f(x_{2}))}
f
{\displaystyle f}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Teoremă (criteriu de convexitate) . Fie
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }
f
:
I
→
R
{\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }
derivabilă pe I. Funcția
f
{\displaystyle f}
I
{\displaystyle I}
dacă și numai dacă
f
″
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f''(x)\geq 0}
Teoremă . Fie
f
1
,
f
2
{\displaystyle f_{1},f_{2}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
a
1
f
1
+
a
2
f
2
{\displaystyle a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
a
1
,
a
2
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle a_{1},a_{2}\in [0,\infty )}
Teoremă (Inegalitatea lui Jensen ) . Fie funcția convexă
f
:
I
→
R
{\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }
∀
{\displaystyle \forall }
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
∀
{\displaystyle \forall }
t
1
,
.
.
.
,
t
n
∈
I
{\displaystyle t_{1},...,t_{n}\in I}
∀
{\displaystyle \forall }
α
1
,
.
.
.
,
α
n
∈
R
+
{\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}\in \mathbb {R_{+}} }
∑
i
=
1
n
α
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1}
f
(
∑
i
=
1
n
α
i
t
i
)
≤
∑
i
=
1
n
α
i
f
(
t
i
)
{\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}t_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f(t_{i})}
Demonstrație: Se demonstrează prin inducție.
n
=
2
{\displaystyle n=2}
n
{\displaystyle n}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
t
1
,
.
.
.
,
t
n
+
1
∈
I
{\displaystyle t_{1},...,t_{n+1}\in I}
α
1
,
.
.
.
,
α
n
+
1
∈
R
+
{\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n+1}\in \mathbb {R_{+}} }
α
1
+
.
.
.
+
α
n
+
1
=
1
{\displaystyle \alpha _{1}+...+\alpha _{n+1}=1}
Dacă
α
n
+
1
=
1
{\displaystyle \alpha _{n+1}=1}
Dacă
α
n
+
1
≠
1
{\displaystyle \alpha _{n+1}\neq 1}
t
:=
∑
k
=
1
n
+
1
α
k
t
k
=
(
1
−
α
n
+
1
)
s
+
α
n
+
1
t
n
+
1
{\displaystyle t:=\sum _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}t_{k}=(1-\alpha _{n+1})s+\alpha _{n+1}t_{n+1}}
unde
s
=
∑
k
=
1
n
α
k
1
−
α
n
+
1
t
k
.
{\displaystyle s=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\alpha _{k}}{1-\alpha _{n+1}}}t_{k}.}
f
(
t
)
≤
(
1
−
α
n
+
1
)
f
(
s
)
+
α
n
+
1
f
(
t
n
+
1
)
≤
(
1
−
α
n
+
1
)
∑
k
=
1
n
α
k
1
−
α
n
+
1
f
(
t
k
)
+
α
n
+
1
f
(
t
n
+
1
)
=
∑
k
=
1
n
+
1
α
k
f
(
t
k
)
.
{\displaystyle f(t)\leq (1-\alpha _{n+1})f(s)+\alpha _{n+1}f(t_{n+1})\leq (1-\alpha _{n+1})\sum _{k=1}^{n}{\frac {\alpha _{k}}{1-\alpha _{n+1}}}f(t_{k})+\alpha _{n+1}f(t_{n+1})=\sum _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}f(t_{k}).}
Funcția
f
:
R
→
R
,
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}}
Funcția
f
:
R
→
R
,
f
(
x
)
=
a
x
,
a
>
0
,
a
≠
1
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,f(x)=a^{x},a>0,a\neq 1}
Viorel Lupușor, Vasile Pop, Matematică pentru grupele de performanță, clasa a XI-a , Dacia Educațional, 2004.
Mihail Megan, Bazele Analizei Matematice, vol. 2 , Editura Eurobit Timișoara, 1997.
Gheorghe Sirețchi, Calcul Diferențial și Integral , Ed. Științifică și Enciclopedică, București, 1985. 
![{\displaystyle [AB]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e80b9404482bdbe7fe18d8435b3dd42fd39bb0)
