În matematică grupul de automorfisme într-una din formele sale cele mai generale este definit în contextul teoriei categoriilor. În teoria categoriilor, grupul de automorfisme al unui obiect X este grupul format din automorfismele lui X. Cel mai faimos exemplu este , care este grupul de automorfisme al unui grup ca , un altul este grupul liniar general⁠(d): dacă X este un spațiu vectorial finit-dimensional, atunci grupul de automorfism al lui X este grupul de transformări liniare inversabile al lui X pe sine însuși.

În special în contexte geometrice, un grup de automorfisme este numit și grup de simetrie. Un subgrup al unui grup de automorfisme se numește, în special în literatura veche, grup de transformare.

Exemple modificare

  • Grupul de automorfism al unei mulțimi X este tocmai grupul simetric⁠(d) al lui X.
  • Un omomorfism de grup la grupul de automorfisme al unei mulțimi X echivalează cu o acțiune de grup⁠(d) pe X: orice G-acțiune pe mulțimea X determină   și, invers, orice omomorfism   definește o acțiune prin  .
  • Fie   două mulțimi finite cu aceeași cardinalitate și   mulțimea tuturor bijecțiilor <A \mathrel{\overset{\sim}\to} B</math>. Atunci  , care este un grup simetric (vezi mai sus), acționează asupra   din stânga în mod liber și tranzitiv; adică,   este un torsor pentru  .
  • Grupul de automorfisme   al unui grup ciclic finit de ordinul n este izomorf⁠(d) cu   cu izomorfismul dat de  .[1] În particular,   este un grup abelian.
  • Grupul de automorfism al unei extinderi de corp   este grupul constând din automorfisme de corp ale L care fixează pe K. Dacă extindera de corp este o extindere Galois, grupul de automorfisme se numește grupul Galois al extinderii de corp.
  • Grupul de automorfism al n-spațiului proiectiv pe un corp k este grupul liniar proiectiv  [2]
  • Grupul de automorfisme al unei algebre Lie reale finită dimensional   are structura unui grup Lie (real, de fapt este chiar un grup algebric liniar). Dacă "G" este un grup Lie cu algebră Lie  , atunci grupul de automorfisme al lui "G" are structura unui grup Lie indusă de grupul de automorfisme  .[3][4]

În teoria categoriilor modificare

Grupurile de automorfisme apar foarte natural în teoria categoriilor.

Dacă X este un obiect dintr-o categorie, atunci grupul de automorfisme al lui X este grupul format din toate morfismele inversabile din X pe sine însuși. Este grupul unitar al endomorfismului monoidului X.

Dacă   sunt obiecte dintr-o anumită categorie, atunci mulțimea   al tuturor   este un torsor   la stânga. În practică acest lucru spune că o alegere diferită a unei origini a   diferă fără ambiguitate de un element  , sau că fiecare alegere a unei origini este o alegere a trivializării torsorului.

Dacă   și   sunt obiecte din categoriile   și  , și dacă   este o aplicație functor   pe  , atunci   induce omomorfismul de grup  , deoarece aplică morfismele inversabile pe morfismele inversabile.

În particular, dacă G este un grup, considerat categorie, cu un singur obiect * sau, mai general, dacă G este un grupoid, atunci orice functor   în categoria C este numit acțiune sau reprezentare a lui G pe obiectul  , sau objectele  . Aceste obiecte se spune că sunt  -obiecte. Dacă   este o categorie de module precum categoria spațiilor vectoriale cu dimensiuni finite, atunci  -obiectele se numesc  -module.

Note modificare

  1. ^ Dummit & Foote 2004, § 2.3. Exercise 26..
  2. ^ en Hartshorne 1977, Ch. II, Example 7.1.1..
  3. ^ en Hochschild, G. (). „The Automorphism Group of a Lie Group”. Transactions of the American Mathematical Society. 72 (2): 209–216. JSTOR 1990752. 
  4. ^ Fulton & Harris 1991, Exercise 8.28.

Bibliografie modificare

Legături externe modificare