Inegalitatea lui Jordan

Inegalitățile geometrice au fost tratate cu mare interes în ultimii ani^[care?].

Inegalitatea lui Jordan a fost și ea în centrul acestor studii.

${\frac {2}{\pi }}x\leq \ sinx$ , unde $0\leq \ x\leq \ {\frac {\pi }{2}}$

S-au demonstrat multe rafinări ale acestei inegalități. Următoarea relație a fost demonstrată și a fost utilizată în literatura de specialitate.

${\frac {1+cosx}{2}}<\ {\frac {sinx}{x}}<\ cos{\frac {x}{2}}$ , unde $0<\ x<\ {\frac {\pi }{2}}$

O inegalitate celebră, aflată în legătură cu inegalitatea lui Jordan, este inegalitatea lui Kober

$cosx\geq \ 1-{\frac {2}{\pi }}x$ , $0\leq \ x\leq \ {\frac {\pi }{2}}$ .

Deși această relație poate fi demonstrată luând în considerare proprietatea de monotonie a funcției

${\frac {1-cosx}{x}}$ ,

se observă că, folosind substituția $x\rightarrow \ {\frac {\pi }{2}}-x$ , rezultă inegalitatea lui Jordan.

Aplicația

$g(x)={\frac {sinx}{x}}$ , unde $0<\ x\leq \ {\frac {\pi }{2}}$ , $g(0)=1$ ,

este strict concavă pe intervalul $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ .

Dacă graficul liniei care trece prin punctele $A\left(0,1\right)$ și $B\left({\frac {\pi }{2}},{\frac {2}{\pi }}\right)$ , care aparțin graficului funcției g, este sub graficul funcției g, se obține

${\frac {sinx}{x}}\geq \ 1+{\frac {2\left(2-\pi \right)}{\pi ^{2}}}x$ .

Aceasta este o variantă îmbunătățită a inegalității lui Jordan deoarece această relație poate fi scrisă și sub forma

${\frac {2}{\pi }}+{\frac {\pi -2}{\pi ^{2}}}\left(\pi -2x\right)\geq {\frac {2}{\pi }}$ .

Scriind că linia tangentă graficului de funcție g în punctul B, prin concavitatea lui g (deoarece g este concavă), se obține

${\frac {sinx}{x}}\leq {\frac {4}{\pi }}-{\frac {4x}{\pi ^{2}}}$ .

O demonstrație a inegalității lui Jordan

${\frac {sinx}{x}}\leq {\frac {2}{x}}$ , unde $x\in \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]$

poate fi găsită în monografia lui D.S. Mitrinović și P.M. Vasić, Analytic Inequalities.

Dan Coma, în lucrarea Grafice de funcții și inegalități, face o nouă demonstrație a inegalității lui Jordan, de natură pur geometrică, fără folosirea derivatelor. Unicul element necesar este graficul funcției sinus pe intervalul $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ și acceptarea intuitivă a faptului că funcția este concavă pe acest interval.

Bibliografie

A. Vernescu, D. Coma, O demonstrație elementară a inegalității lui Jordan, Gazeta matematică-A, Nr. 2/2008, pag. 128-130
J. Sándor, Trigonometric and hyperbolic inequalities,arXiv:1105.0859v1[math.CA], mai 2011