Inegalitatea lui Jordan

Inegalitățile geometrice au fost tratate cu mare interes în ultimii ani[care?].

Inegalitatea lui Jordan a fost și ea în centrul acestor studii.

, unde

S-au demonstrat multe rafinări ale acestei inegalități. Următoarea relație a fost demonstrată și a fost utilizată în literatura de specialitate.

, unde

O inegalitate celebră, aflată în legătură cu inegalitatea lui Jordan, este inegalitatea lui Kober

, .

Deși această relație poate fi demonstrată luând în considerare proprietatea de monotonie a funcției

,

se observă că, folosind substituția , rezultă inegalitatea lui Jordan.

Aplicația

, unde , ,

este strict concavă pe intervalul .

Dacă graficul liniei care trece prin punctele și , care aparțin graficului funcției g, este sub graficul funcției g, se obține

.

Aceasta este o variantă îmbunătățită a inegalității lui Jordan deoarece această relație poate fi scrisă și sub forma

.

Scriind că linia tangentă graficului de funcție g în punctul B, prin concavitatea lui g (deoarece g este concavă), se obține

.

O demonstrație a inegalității lui Jordan

, unde

poate fi găsită în monografia lui D.S. Mitrinović și P.M. Vasić, Analytic Inequalities.

Dan Coma, în lucrarea Grafice de funcții și inegalități, face o nouă demonstrație a inegalității lui Jordan, de natură pur geometrică, fără folosirea derivatelor. Unicul element necesar este graficul funcției sinus pe intervalul și acceptarea intuitivă a faptului că funcția este concavă pe acest interval.

Bibliografie

modificare
  • A. Vernescu, D. Coma, O demonstrație elementară a inegalității lui Jordan, Gazeta matematică-A, Nr. 2/2008, pag. 128-130
  • J. Sándor, Trigonometric and hyperbolic inequalities,arXiv:1105.0859v1[math.CA], mai 2011