Acest articol are nevoie de ajutorul dumneavoastră. contribui la dezvoltarea și îmbunătățirea lui apăsând butonul Modificare
Inegalitatea lui Karamata este o inegalitate puternică bazată pe convexitate.
Teoremă. Daca f este funcție convexă pe intervalul I, atunci
p
1
f
(
x
1
)
+
p
2
f
(
x
2
)
+
.
.
.
+
p
n
f
(
x
n
)
≥
p
1
f
(
y
1
)
+
p
2
f
(
y
2
)
+
.
.
.
+
p
n
f
(
y
n
)
{\displaystyle p_{1}f(x_{1})+p_{2}f(x_{2})+...+p_{n}f(x_{n})\geq p_{1}f(y_{1})+p_{2}f(y_{2})+...+p_{n}f(y_{n})}
pentru orice
x
1
≥
x
2
≥
.
.
.
≥
x
n
,
y
1
≥
y
2
≥
.
.
.
≥
y
n
{\displaystyle x_{1}\geq x_{2}\geq ...\geq x_{n},y_{1}\geq y_{2}\geq ...\geq y_{n}}
I
{\displaystyle I}
p
1
x
1
≥
p
1
y
1
{\displaystyle p_{1}x_{1}\geq p_{1}y_{1}}
p
1
x
1
+
p
2
x
2
≥
p
1
y
1
+
p
2
y
2
{\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\geq p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}}
.
.
.
{\displaystyle ...}
p
1
x
1
+
p
2
x
2
+
.
.
.
+
p
n
−
1
x
n
−
1
≥
p
1
y
1
+
p
2
y
2
+
.
.
.
+
p
n
−
1
y
n
−
1
{\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+...+p_{n-1}x_{n-1}\geq p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+...+p_{n-1}y_{n-1}}
p
1
x
1
+
p
2
x
2
+
.
.
.
p
n
x
n
=
p
1
y
1
+
p
2
y
2
+
.
.
.
+
p
n
y
n
{\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+...p_{n}x_{n}=p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+...+p_{n}y_{n}}
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
n
≥
0
{\displaystyle p_{1},p_{2},...,p_{n}\geq 0}
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
f
{\displaystyle f}
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
(
y
1
,
y
2
,
.
.
.
,
y
n
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n})=(y_{1},y_{2},...,y_{n})}
