Integrare prin schimbare de variabilă

În analiza matematică, integrarea prin schimbarea de variabilă (sau prin substituție) este un procedeu de integrare care constă în înlocuirea unei variabile (sau a unei funcții) printr-o altă funcție sau alt parametru. Există două astfel de metode.

Prima metodă de schimbare de variabilă

Această metodă se aplică pentru aflarea primitivei unei funcții $h:I\rightarrow \mathbb {R} ,$ care poate fi scrisă sub forma:

$h(t)=f(\phi (t))\cdot \phi '(t),\;\forall t\in \mathbb {R} ,$

unde $\phi :I\rightarrow J\;$   este o funcție derivabilă, iar $f:I\rightarrow \mathbb {R} .$

Dacă funcția f admite o primitivă F, adică   $F'=f,$   atunci, aplicând regula de derivare a funcțiilor compuse:

$h(t)=F'(\phi (t))\cdot \phi '(t)=(F\circ \phi )'(t),$

deci $F\circ \phi$   este o primitivă a lui h.

Teoremă (prima metodă de schimbare de variabilă)

Fie I, J intervale din $\mathbb {R}$   și

$\phi :I\rightarrow J$     $f:J\rightarrow \mathbb {R}$

funcții cu proprietățile:

$(\alpha )$   φ este derivabilă pe I,

$(\beta )$   f admite primitive (fie F o primitivă a sa).

Atunci funcția $(f\circ \phi )\cdot \phi '$   admite primitive, iar funcția $F\circ \phi$   este o primitivă a lui $(f\circ \phi )\cdot \phi ',$   adică:

$\int f(\phi (t))\cdot \phi '(t)dt=F\circ \phi +{\mathcal {C}}.$

Demonstrație. Funcția F fiind o primitivă a lui f, este derivabilă pe J și   $F'=f.$ Însă φ este derivabilă pe I (ipoteza (α)), deci și   $F\circ \phi$   este derivabilă pe I și:

$(F\circ \phi )'(t)=F'(\phi (t))\cdot \phi '(t)=f(\phi (t))\cdot \phi '(t)\;\;\forall t\in I.$

Așadar, funcția   $F\circ \phi$   este o primitivă a lui   $(f\circ \phi )\cdot \phi '.$

A doua metodă de schimbare de variabilă

Această metodă se aplică atunci când se cunoaște o primitivă H a funcției   $h=(f\circ \phi )\cdot \phi '$   și se cere să se găsească o primitivă F a funcției f; F se obține din H astfel:

$F=H\circ \phi ^{-1}.$

Vezi și

• Integrare prin părți