Integrare prin părți

Integrarea prin părți este o metodă utilizată în analiza matematică pentru determinarea primitivei produsului a două funcții, când se cunoaște primitiva uneia.

TeoremăModificare

Dacă funcțiile   sunt derivabile și au derivate continue pe   atunci are loc egalitatea:

 

unde simbolul   reprezintă mulțimea primitivelor funcției   iar   reprezintă mulțimea primitivelor funcției  


Demonstrație.

Funcția   are derivată continuă pe   și

 

Fie acum   și diferența   Prin derivare se obține egalitatea:

 

care arată că  

Astfel am obținut că funcția   și   Altfel spus,   Analog se arată că oricare ar fi   funcția  


Consecință.

Dacă funcțiile   au derivate continue pe   atunci are loc egalitatea:

 

ExempleModificare

Exemplul 1Modificare

Să se calculeze  

Mai întâi alegem funcțiile f și g:

  •  
  •  

Calculăm derivata lui f:  

Integrăm pe g:  

Deci  

Exemplul 2Modificare

Multe formule de recurență se stablesc prin integrare prin părți repetată. De exemplu, fie:

 

Integrând prin părți rezultă:

 

De aici avem:

 

Această formulă împreună cu egalitățile   și   conduc la evaluarea primitivei   pentru  

Vezi șiModificare

Legături externeModificare