Integrare prin schimbare de variabilă

În analiza matematică, integrarea prin schimbarea de variabilă (sau prin substituție) este un procedeu de integrare care constă în înlocuirea unei variabile (sau a unei funcții) printr-o altă funcție sau alt parametru. Se bazează pe folosirea diferențialei unei expresii algebrice.

Există două astfel de metode.

Prima metodă de schimbare de variabilă

Această metodă se aplică pentru aflarea primitivei unei funcții $h:I\rightarrow \mathbb {R} ,$ care poate fi scrisă sub forma:

$h(t)=f(\phi (t))\cdot \phi '(t),\;\forall t\in \mathbb {R} ,$

unde $\phi :I\rightarrow J\;$   este o funcție derivabilă, iar $f:I\rightarrow \mathbb {R} .$

Dacă funcția f admite o primitivă F, adică   $F'=f,$   atunci, aplicând regula de derivare a funcțiilor compuse:

$h(t)=F'(\phi (t))\cdot \phi '(t)=(F\circ \phi )'(t),$

deci $F\circ \phi$   este o primitivă a lui h.

Teoremă (prima metodă de schimbare de variabilă)

Fie I, J intervale din $\mathbb {R}$   și

$\phi :I\rightarrow J$     $f:J\rightarrow \mathbb {R}$

funcții cu proprietățile:

$(\alpha )$   φ este derivabilă pe I,

$(\beta )$   f admite primitive (fie F o primitivă a sa).

Atunci funcția $(f\circ \phi )\cdot \phi '$   admite primitive, iar funcția $F\circ \phi$   este o primitivă a lui $(f\circ \phi )\cdot \phi ',$   adică:

$\int f(\phi (t))\cdot \phi '(t)dt=F\circ \phi +{\mathcal {C}}.$

Demonstrație. Funcția F fiind o primitivă a lui f, este derivabilă pe J și   $F'=f.$ Însă φ este derivabilă pe I (ipoteza (α)), deci și   $F\circ \phi$   este derivabilă pe I și:

$(F\circ \phi )'(t)=F'(\phi (t))\cdot \phi '(t)=f(\phi (t))\cdot \phi '(t)\;\;\forall t\in I.$

Așadar, funcția   $F\circ \phi$   este o primitivă a lui   $(f\circ \phi )\cdot \phi '.$

A doua metodă de schimbare de variabilă

Această metodă se aplică atunci când se cunoaște o primitivă H a funcției   $h=(f\circ \phi )\cdot \phi '$   și se cere să se găsească o primitivă F a funcției f; F se obține din H astfel:

$F=H\circ \phi ^{-1}.$

Vezi și

• Integrare prin părți