Matrice permutare

Matricea permutare asociată permutării $\pi$ și notată $P_{\pi }$ este matricea pătrată cu elemente 0 sau 1 care se obține din matricea unitate $I_{n}$ modificând poziția liniilor în concordanță cu $\pi ^{-1}$, în sensul că linia $\pi _{i}$ din matricea $I_{n}$ trece în linia $i$ a matricii $P_{\pi }$ , unde:

$\pi ={\begin{pmatrix}\pi _{1}&\pi _{2}&\pi _{3}&...&\pi _{n}\end{pmatrix}}$ o permutare a mulțimii {1; 2; 3; ...;n}, adică o aplicație bijectivă de la mulțime la ea însăși:

${\begin{pmatrix}1&2&...&i&...&n\\\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow \\\pi _{1}&\pi _{2}&...&\pi _{i}&...&\pi _{n}\end{pmatrix}}$

și $\pi ^{-1}$ inversa sa

$\pi ^{-1}={\begin{pmatrix}\pi _{1}&\pi _{2}&...&\pi _{i}&...&\pi _{n}\\\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow \\1&2&...&i&...&n\end{pmatrix}}$

Exemplu

Pentru permutarea $\pi ={\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}$ , matricea corespunzătoare permutării este:

$P_{\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Proprietăți ale matricelor permutare

1) Produsul dintre o matrice permutare și o matrice coloană este:

$P_{\pi }\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{\pi _{1}}\\x_{\pi _{2}}\\\vdots \\x_{\pi _{n}}\\\end{pmatrix}}$

adică matricea $P_{\pi }$ are ca efect permutarea liniilor matricei coloană conform permutării $\pi$.

Exemplul 1

$P_{\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}\cdot X={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\x_{1}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

În particular produsul unei matrice permutare cu o matrice $A$ cu $n$ linii și $m$ coloane este matricea obținută din $A$ aplicând permutarea $\pi$ liniilor sale.

Exemplul 2

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$

$P_{\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}\cdot A={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&5&6\\1&2&3\\7&8&9\end{pmatrix}}$

2) Determinantul unei matrici permutare $P_{n}$ este 1 dacă permutarea este pară sau -1 dacă permutarea este impară.

Exemplu

$\pi ={\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}$ - este permutare impară $\Rightarrow detP_{\pi }=-1$

Consecință: 1) O matrice permutare este inversabilă.

2) Inversa unei matrice permutare conicide cu transpusa sa.

$P_{\pi }^{-1}=P_{\pi }^{t}$.

Matricele permutare intervin în metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare.