Mulțime compactă
Mulțimea compactă este o noțiune folosită în analiză matematică și în topologie care desemnează acele submulțimi ale mulțimii numerelor reale care sunt mărginite și închise.
Formulări echivalente
modificareO submulțime a mulțimii numerelor reale este compactă dacă este satisfăcută una din condițiile (echivalente:)
- Orice șir de elemente ale submulțimii admite un subșir convergent, a cărui limită aparține mulțimii (criteriul cu șiruri).
- Orice acoperire deschisă admite o subacoperire finită (criteriul acoperirii).
Generalizare
modificareNoțiunea se poate generaliza pe sau pentru spații vectoriale infinit-dimensionale.
Exemple
modificareFie cu .
- Intervalulul închis este compact. Orice șir convergent cu termeni din acest interval are limita situată pe .
- Intervalele semideschise și intervalul deschis nu sunt compacte deoarece nu sunt închise. Există șiruri care converg la fiecare din extremitățile intervalelor.
- Mulțimea numerelor reale nu este compactă, deoarece nu este nici închisă, nici mărginită. Există șiruri de numere reale cu orice subșir crescător nemărginit (De exemplu mulțimea numerelor naturale ).