În matematică, un n-uplu diofantic este un ansamblu de n numere întregi pozitive astfel încât  este un pătrat perfect pentru orice .[1] O mulțime de n numere raționale pozitive cu proprietatea că produsul oricăror două este cu o unitate mai puțin decât un pătrat rațional este cunoscut ca un n-uplu diofantic rațional.

Primul cvadruplet diofantic a fost găsit de către Fermat: .[1] Baker și Davenport au dovedit în 1969[1] că un al cincilea număr întreg pozitiv nu poate fi adăugat la acest tuplu. Cu toate acestea, Euler a fost capabil de a extinde acest tuplu prin adăugarea unui număr rațional .[1]

Întrebarea privitor la existența unui cvintuplu diofantin (întreg) era una dintre cele mai vechi probleme nerezolvate din teoria numerelor. În 2004 Andrej Dujella a arătat că există cel mult un număr finit de asemenea tupluri există.[1] În 2016 a fost propusă o soluție de He, Togbé și Ziegler, soluție ce este încă verificată de alți matematicieni.[2]


Cazul rațional

modificare

Diofant însuși a găsit un cvadruplet  .[1] Mai recent, Philip Gibbs a găsit mulțimi de șase numere rationale pozitive cu această proprietate.[3] Nu se știe dacă există n-upluri diofantice mai mari sau dacă există o limită superioară, dar este cunoscut faptul că nu există nicio mulțime infinită de numere raționale cu proprietatea aceasta.[4]

  1. ^ a b c d e f Dujella, Andrej (ianuarie 2006). „There are only finitely many Diophantine quintuples”. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 2004 (566): 183–214. doi:10.1515/crll.2004.003. 
  2. ^ He, B.; Togbé, A.; Ziegler, V. „There is no Diophantine Quintuple”. arXiv:1610.04020 . 
  3. ^ Gibbs, Philip (). „A Generalised Stern-Brocot Tree from Regular Diophantine Quadruples”. arXiv:math.NT/9903035v1 . 
  4. ^ Herrmann, E.; Pethoe, A.; Zimmer, H. G. (). „On Fermat's quadruple equations”. Math. Sem. Univ. Hamburg. 69: 283–291. doi:10.1007/bf02940880. 

Legături externe

modificare