N-uplu diofantic

n-uplu diofantic În matematică, un n-uplu diofantic este un ansamblu de n numere întregi pozitive $\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\ldots ,a_{n}\}$ astfel încât $a_{i}a_{j}+1$ este un pătrat perfect pentru orice $1\leq i<j\leq n$ .^[1] O mulțime de n numere raționale pozitive cu proprietatea că produsul oricăror două este cu o unitate mai puțin decât un pătrat rațional este cunoscut ca un n-uplu diofantic rațional.

Primul cvadruplet diofantic a fost găsit de către Fermat: $\{1,3,8,120\}$ .^[1] Baker și Davenport au dovedit în 1969^[1] că un al cincilea număr întreg pozitiv nu poate fi adăugat la acest tuplu. Cu toate acestea, Euler a fost capabil de a extinde acest tuplu prin adăugarea unui număr rațional ${\frac {777480}{8288641}}$ .^[1]

Întrebarea privitor la existența unui cvintuplu diofantin (întreg) era una dintre cele mai vechi probleme nerezolvate din teoria numerelor. În 2004 Andrej Dujella a arătat că există cel mult un număr finit de asemenea tupluri există.^[1] În 2016 a fost propusă o soluție de He, Togbé și Ziegler, soluție ce este încă verificată de alți matematicieni.^[2]

Cazul rațional

Diofant însuși a găsit un cvadruplet $\left\{{\frac {1}{16}},{\frac {33}{16}},{\frac {17}{4}},{\frac {105}{16}}\right\}$ .^[1] Mai recent, Philip Gibbs a găsit mulțimi de șase numere rationale pozitive cu această proprietate.^[3] Nu se știe dacă există n-upluri diofantice mai mari sau dacă există o limită superioară, dar este cunoscut faptul că nu există nicio mulțime infinită de numere raționale cu proprietatea aceasta.^[4]

Note

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Dujella, Andrej (ianuarie 2006). „There are only finitely many Diophantine quintuples”. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 2004 (566): 183–214. doi:10.1515/crll.2004.003.
^ He, B.; Togbé, A.; Ziegler, V. „There is no Diophantine Quintuple”. arXiv:1610.04020  .
^ Gibbs, Philip (1999). „A Generalised Stern-Brocot Tree from Regular Diophantine Quadruples”. arXiv:math.NT/9903035v1  .
^ Herrmann, E.; Pethoe, A.; Zimmer, H. G. (1999). „On Fermat's quadruple equations”. Math. Sem. Univ. Hamburg. 69: 283–291. doi:10.1007/bf02940880.

Legături externe

Paginile lui Andrej Dujella despre n-upluri diofantice

[Dujella-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Dujella, Andrej (ianuarie 2006). „There are only finitely many Diophantine quintuples”. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 2004 (566): 183–214. doi:10.1515/crll.2004.003.

[HTZ-2] He, B.; Togbé, A.; Ziegler, V. „There is no Diophantine Quintuple”. arXiv:1610.04020  .

[Gibbs-3] Gibbs, Philip (1999). „A Generalised Stern-Brocot Tree from Regular Diophantine Quadruples”. arXiv:math.NT/9903035v1  .

[HPZ-4] Herrmann, E.; Pethoe, A.; Zimmer, H. G. (1999). „On Fermat's quadruple equations”. Math. Sem. Univ. Hamburg. 69: 283–291. doi:10.1007/bf02940880.

[1]

[2]

[3]

[4]