Nilpotență

Problema 1 Fie matricea A $\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )$ . Să se arate că $A$ este nilpotență dacă și numai dacă ${\rm {tr}}\,(A^{k})=0$ , oricare ar fi $k>0$ natural. Sunt cunoscute relațiile:

${\rm {tr}}\ (A^{k})=\lambda _{1}^{k}+\lambda _{2}^{k}+...+\lambda _{n}^{k},\ \forall k\in \mathbb {N} ^{*},\ \ (\star )$

unde $\lambda _{i},\ i=1,...,n$, sunt valorile proprii ale matricii $A$.

Presupunem acum că $A$ este nilpotență, adică există $p\in \mathbb {N} ^{*}$ astfel încât $A^{p}=0$. Fie $\lambda$ o valoare proprie asociată matricii $A$ și $X\in {\mathcal {M}}_{n,1}(\mathbb {R} )$ un vector propriu nenul corespunzător valorii proprii $\lambda$. Atunci avem $AX=\lambda X$ (1).

Presupunem $\lambda \neq 0$. Deoarece $A^{p}X=0\cdot X=0$, mulțimea $W=\{q\in \mathbb {N} *:A^{q}X=0\}$ este nevidă și din proprietatea de bună ordonare a lui $\mathbb {N}$ rezultă faptul că $W$ are un cel mai mic element, $w$. Dacă acesta este diferit de 1, atunci prin înmulțirea relației (1) cu $A^{w-1}$ obținem $A^{w}X=\lambda A^{w-1}X$, de unde datorită faptului că $A^{w}=0$ și $\lambda \neq 0$ rezultă că $A^{w-1}X=0$, ceea ce este o contradicție cu minimalitatea lui $w$. Prin urmare $w=1$ și $AX=0$. Folosind relația (1) avem și $\lambda X=0$, ceea ce este o contradicție cu faptul că $\lambda \neq 0$ și $X\neq 0$. Deci presupunerea făcută este falsă și $\lambda =0$.

Deoarece $\lambda$ a fost o valoare proprie aleasă arbitrar, orice valoare proprie a lui $A$ este 0. Din relațiile (\star)</math> rezultă că ${\rm {tr}}\ (A^{k})=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{k}=0,\ \forall k\in \mathbb {N} ^{*}.$

Reciproc, presupunem că ${\rm {tr}}(A^{k})=0,\ \forall k\in \mathbb {N} ^{*}$. Folosim identitățile lui Newton: $(-1)^{m}\sum \limits _{1\leq i_{1}<...<i_{m}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{m}}+\sum \limits _{k=1}^{m}\left((-1)^{k+m}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\right)\sum \limits _{1\leq i_{1}<...<i_{m-k}\leq n}x_{i_{1}}...x_{i_{m-k}}\right)=0,$ pentru orice $m\leq n$ și oricare $n$ numere complexe $x_{1},...,x_{n}$. În particular, dacă $x_{i}=\lambda _{i},\ \forall i=1..n$, atunci, din relațiile $(\star )$ și presupunerea făcută rezultă că $\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=0,\ \forall k\in \mathbb {N} ^{*}$. Dacă înlocuim $x_{i}$ în formulele lui Newton pentru $m=1,2,...,n$ obținem: $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=0,\ \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}=0,...,\ x_{1}x_{2}...x_{n}=0,$ adică coeficienții polinomului $p_{A}(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})$, polinomul caracteristic al lui $A$, sunt 0, în afară de coeficientul dominant. Prin urmare $p_{A}(x)=x^{n}$. Teorema Cayley-Hamilton spune că $p_{A}(A)=0$, adică $A^{n}=0$. Prin urmare $A$ este o matrice nilpotență.

Legături externe

http://planetmath.org/NilpotentMatrix.html