În matematică, numerele Lucas sau seria Lucas reprezintă un șir de numere întregi numit după matematicianul Édouard Lucas (1842–91), care a studiat atât acest șir, cât și numerele Fibonacci strâns legate. Numerele Lucas și numerele Fibonacci formează instanțe complementare ale seriei Lucas.[1][2][3]

Spirala Lucas, realizată cu sferturi de arc, reprezintă o bună aproximare a spiralei de aur când termenii ei sunt mari
A nu se confunda cu număr Pell–Lucas.

Numerele Lucas sunt definite asemenea numerelor Fibonacci sau a numerelor Pell: fiecare termen al seriei Lucas fiind egal cu suma celor doi termeni anteriori; ceea ce diferă sunt termenii inițiali ai seriei: , unde și .

Astfel primele câteva numere ale seriei Lucas sunt:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ....[4]

Uneori se consideră că primii doi termeni ai seriei sunt L0 = 2 și L1 = 1, ceea ce nu schimbă seria de la termenul 3 în sus.

Un număr Lucas care este și număr prim se numește prim Lucas. Primele 16 numere prime Lucas sunt:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, 119218851371[5]

Relația cu numerele FibonacciModificare

 
Prima identitate dintre numerele Fibonacci și numerele Lucas exprimată vizual

Datorită naturii similare, există mai multe identități între numerele Lucas   și numerele Fibonacci  . Printre acestea se numără următoarele:

  •  
  •  
  •  , și pe măsură ce   se apropie de +∞, raportul   se apropie de  
  •  
  •  
  •  ; în particular,  

Formula lor închisă este dată ca:

 

unde   este raportul de aur. Alternativ, pentru   mărimea termenului   este mai mică de 1/2,   este cel mai apropiat număr întreg de   sau, în mod echivalent, partea întreagă a lui  , scrisă și ca  .

Combinând cele de mai sus cu formula lui Binet,

 

se obține o formulă pentru  :

 

NoteModificare

  1. ^ Marius Coman, Enciclopedia matematică a claselor de numere întregi
  2. ^ Fibonacci and Lucas numbers, Verner E. Hoggatt, Jr.;
  3. ^ On the k-Lucas numbers, Sergio Falcon
  4. ^ Șirul A000032 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  5. ^ Șirul A005479 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

Vezi șiModificare