Număr Sierpiński

Un număr Sierpiński este un număr natural impar k cu proprietatea că $k\times 2^{n}+1$ este un număr compus, pentru orice număr natural n. În anul 1960, Wacław Sierpiński a demonstrat că există o infinitate de numere naturale impare k care au această proprietate.

Cu alte cuvinte, dacă k este un număr Sierpiński, toate numerele din următoarea mulțime sunt numere compuse:

\left\{\,k\cdot 2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.

Pe de altă parte, dacă numărul este de forma $k\times 2^{n}-1$ , atunci k se numește număr Riesel.

Numere cunoscute

Șirul numerelor Sierpiński cunoscute în prezent este:^[1]

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991, ...

John Selfridge a demonstrat în anul 1962 că numărul 78557 este un număr Sierpiński, arătând că toate numerele de forma 78557⋅2ⁿ + 1 au un factor din mulțimea ${3, 5, 7, 13, 19, 37, 73$ }. Pentru următorul număr Sierpiński, 271129, mulțimea factorilor posibili este ${3, 5, 7, 13, 17, 241$ }. Majoritatea numerelor Sierpiński cunoscute în prezent prezintă aceleași mulțimi de factori.^[2]

Problema lui Sierpiński

Problema lui Sierpiński se referă la găsirea celui mai mic număr Sierpiński. Într-o corespondență privată adresată lui Paul Erdős, Selfridge a propus conjectura că 78.557 este cel mai mic număr Sierpiński.^[3] Nu s-au putut găsi alte numere Sierpiński, iar în prezent se crede că 78.557 este într-adevăr cel mai mic nummăr de acest tip.^[4]

Note

^ Șirul A076336 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
^ Sierpinski number at The Prime Glossary
^ Erdős, Paul; Odlyzko, Andrew Michael (1 mai 1979). „On the density of odd integers of the form $(p - 1)2 - n$ and related questions”. Journal of Number Theory (în engleză). Elsevier. 11 (2): 258. doi:10.1016/0022-314X(79)90043-X  . ISSN 0022-314X.
^ Guy, Richard Kenneth (2005). Unsolved Problems in Number Theory (în engleză). New York: Springer-Verlag. pp. B21:119–121, F13:383–385. ISBN 978-0-387-20860-2. OCLC 634701581.

[1] Șirul A076336 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)

[PG-2] Sierpinski number at The Prime Glossary

[3] Erdős, Paul; Odlyzko, Andrew Michael (1 mai 1979). „On the density of odd integers of the form $(p - 1)2 - n$ and related questions”. Journal of Number Theory (în engleză). Elsevier. 11 (2): 258. doi:10.1016/0022-314X(79)90043-X  . ISSN 0022-314X.

[4] Guy, Richard Kenneth (2005). Unsolved Problems in Number Theory (în engleză). New York: Springer-Verlag. pp. B21:119–121, F13:383–385. ISBN 978-0-387-20860-2. OCLC 634701581.

[1]

[2]

[3]

[4]