Primorial

În matematică, primorialul unui număr natural $n$ (se notează _n#) este produsul tuturor numerelor prime mai mici sau egale cu $n$. Funcția primorială reprezintă un produs de prime, începând cu primul număr prim. A fost denumit astfel de inginerul și matematicianul american Harvey Dubner ca o analogie la numerele prime similar cu felul în care factorial este o analogie la factori.

Definiție

Pentru al n-lea număr prim p_n, primorialul p_n# este definit ca produsul primelor n numere prime:

$p_{n}\#\equiv \prod _{k=1}^{n}p_{k}$,

unde p_k este al k-lea număr prim.

De exemplu, p₅# semnifică produsul primelor 5 numere prime:

$p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.$

Primele numere

Primele numere primoriale sunt:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410, 32589158477190044730, 1922760350154212639070, 117288381359406970983270, 7858321551080267055879090

Secvența conține p₀# = 1 (prin convenție; sau justificat prin conceptul de produs nul - „empty product”).

n	n#	pn	pn#
0	1	nu există	1
1	1	2	2
2	2	3	6
3	6	5	30
4	6	7	210
5	30	11	2310
6	30	13	30030
7	210	17	510510
8	210	19	9699690
9	210	23	223092870
10	210	29	6469693230
11	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
14	30030	43	13082761331670030
15	30030	47	614889782588491410
16	30030	53	32589158477190044730
17	510510	59	1922760350154212639070
18	510510	61	117288381359406970983270
19	9699690	67	7858321551080267055879090
20	9699690	71	557940830126698960967415390

Număr superprimorial

Un număr superprimorial este produsul primelor $n$ numere primoriale: $f(n)$ =₁# $\times$ ₂# $\times$ ... $\times$ _n#.

Primele 9 numere superprimoriale sunt:

1, 2, 12, 360, 75600, 174636000, 5244319080000, 2677277333530800000, 25968760179275365452000000.

$f(0)=1$ = 1

$f(1)=2$ = 1 $\times$ 2

$f(2)=12$ = 1 $\times$ 2 $\times$ 6

$f(3)=360$ = 1 $\times$ 2 $\times$ 6 $\times$ 30

$f(4)=75600$ = 1 $\times$ 2 $\times$ 6 $\times$ 30 $\times$ 210

$f(5)=174636000$ = 1 $\times$ 2 $\times$ 6 $\times$ 30 $\times$ 210 $\times$ 2310

Bibliografie

• Dubner, Harvey (1987). „Factorial and primorial primes”. J. Recr. Math. 19: 197–203. 
• Spencer, Adam “ Top 100 ” Number 59 part 4.

Vezi și

• Listă de numere