Paranteza lui Poisson

În matematică și mecanica clasică, Paranteza lui Poisson este un operator important din mecanica Hamiltoniană, jucând un rol principal în evoluția în timp a unui sistem dinamic prin prisma formalismului Hamiltonian. Importanța deosebită a parantezei lui Poisson constă în faptul că ea constituie un procedeu util în obținerea de noi integrale prime ale ecuațiilor canonice Hamiltoniene. De altfel, ea plasează mecanica și dinamica în contextul tranformărilor de coordonate, în special în coordonate plane, precum cele ale transformărilor canonice poziție-impuls. Un exemplu de transformare canonică este Hamiltonianul însuși $H=H(q,p;t)\,$.

Într-un sens mai general, paranteza Poisson este folosită la definirea algebrei Poisson, algebră în care mulțimea Poisson este un caz special. Toate aceste denumiri au fost date în onoarea matematicianului francez Siméon-Denis Poisson.

Definiție

În coordonatele canonice $(q_{i},p_{j})\,$ din spațul fazelor, fiind date două funcții $F(p_{i},q_{i},t)\,$ și $G(p_{i},q_{i},t)\,$, paranteza lui Poisson este definită de următoarea ecuație:

$[F,G]=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial q_{i}}}\right].$

Proprietăți

Paranteza lui Poisson are o serie de proprietăți analoage produsului vectorial. Fie $F,G,P,F_{1}\,$ și $F_{2}\,$, funcții de variabilele $p_{1},p_{2},...,p_{n},q_{1},q_{2},...,q_{n}\,$, iar $c\,$ o constantă oarecare. Paranteza lui Poisson verifică următoarele relații:

$[cF,G]=[F,cG]=c[F,G]\,$

$[F,G]=-[G,F]\,$

$[F,F]=0\,$

$[c,F]=0\,$

$[F_{1}+F_{2},G]=[F_{1},G]+[F_{2},G]\,$

${\frac {\partial }{\partial t}}[F,G]=\left[{\frac {\partial F}{\partial t}},G\right]+\left[F,{\frac {\partial G}{\partial t}}\right]\,$

$[[F,G],P]+[[G,P],F]+[[P,F],G]=0\,$

Ultima relație poartă numele de identitatea Poisson-Jacobi.

Ecuația de mișcare

Ecuația de mișcare Hamilton-Jacobi are o expresie echivalentă în termenii parantezei lui Poisson. Pentru a demonstra acest lucru fie o funcție $F(p,q,t)\,$ a cărei derivată cu timpul se scrie:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}F(p,q,t)={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial p}}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial F}{\partial q}}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}.$

Considerând că, $p=p(t)\,$ și $q=q(t)\,$ sunt soluțiile ecuației Hamilton-Jacobi, atunci: ${\dot {q}}={\partial H}/{\partial p}\,$ și ${\dot {p}}=-{\partial H}/{\partial q}\,$. Dacă le înlocuim în ecuațiile de mai sus, obținem:

${\frac {\mathrm {dF} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+[F,H]$

Dacă folosim operatorul lui Liouville $i{\hat {\mathbf {L} }}=-\{\,H,\cdot \,\}\,$, atunci:

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{\,H,\cdot \,\}\right)F=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-i{\hat {\mathbf {L} }}\right)F.$

Cuantificare canonică

Interesul deosebit al parantezei lui Poisson este acela că permite trecerea ușoară la cuantificarea din formalismul algebric al lui Heisenberg al mecanicii cuantice. În general este suficient să facem o substituție de forma:

${X,Y}\longrightarrow {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {X}},{\hat {Y}}]\,$

în care, $[.,.]\,$ desemnează un comutator pentru obținerea relațiilor de comutare a operatorilor din formalismul lui Heisenberg, luând paranteza lui Poisson a observabilelor clasice. Aceeași strategie se aplică la cuantificarea unui câmp clasic.

Vezi și

• Hamiltonian (mecanică clasică)
• Spațiul fazelor
• Paranteza lui Lagrange
• Paranteza lui Moyal
• Paranteza lui Peierls
• Superalgebra Poisson
• Mecanică cuantică
• Transformări canonice
• Hamiltonian (mecanica clasică)

Referințe

• Radu Voinea, Dumitru Voiculescu și Florian-Paul Simion Introducere în mecanica solidului cu aplicații în inginerie, Editura Academiei Republicii Socialiste România, 1989.

• Arnold, V. I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (ed. 2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0387968902. Mentenanță CS1: Text în plus (link)

• Landau, L. D. (1982). Mechanics (Course of Theoretical Physics, vol. I) (ed. 3rd ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0750628969. Mentenanță CS1: Text în plus (link)