Prim Wagstaff

În teoria numerelor, un număr prim Wagstaff este un număr prim de formă

Prim Wagstaff

Numit după	Samuel S. Wagstaff, Jr.
Anul publicării	1989
Autorul publicării	Paul T. Bateman, John Selfridge, Samuel S. Wagstaff, Jr.
Nr. de termeni cunoscuți	43
Primii termeni	3, 11, 43, 683
Cel mai mare termen cunoscut	(215135397+1)/3
Index OEIS	A000979 Wagstaff primes

${{2^{p}+1} \over 3}$

unde p is un număr prim impar. Numerele prime Wagstaff au fost numite după matematicianul Samuel S. Wagstaff Jr.. Website-ul Prime Pages îl menționează pe François Morain că le-a denumit astfel într-o prelegere la conferința Eurocrypt 1990. Numerele prime Wagstaff apar în noua conjectură Mersenne și au aplicații în criptografie.

Exemple

Primele trei numere prime Wagstaff sunt 3, 11 și 43 deoarece

${\begin{aligned}3&={2^{3}+1 \over 3},\\[5pt]11&={2^{5}+1 \over 3},\\[5pt]43&={2^{7}+1 \over 3}.\end{aligned}}$

Numerele prime Wagstaff cunoscute

Primele numere prime Wagstaff sunt:

3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, …

În iunie 2021 exponenții cunoscuți care produc numere prime sau probabil prime Wagstaff erau:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, (cunoscuți că produc prime)

95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, …, 13347311, 13372531, 15135397 (probabil că produc prime).

În februarie 2010 Tony Reix a descoperit numărul probabil prim Wagstaff:

${\frac {2^{4031399}+1}{3}}$

care are 1 213 572 cifre și era al treilea dintre cele mai mari probabil prime descoperite pnă la acea dată.

În septembrie 2013 Ryan Propper a anunțat descoperirea a încă două numere probabil prime Wagstaff:

${\frac {2^{13347311}+1}{3}}$

și

${\frac {2^{13372531}+1}{3}}$

Fiecare are puțin peste 4 milioane de cifre zecimale. Nu se știe dacă vreun exponent între 4 031 399 și 13 347 311 produce numere pobabil prime Wagstaff.

În iunie 2021, Ryan Propper a anunțat descoperirea numărului probabil prim Wagstaff:

${\frac {2^{15135397}+1}{3}}$

care are peste 4,5 milioane de zecimale.

Legături externe

• en John Renze and Eric W. Weisstein, Wagstaff prime la MathWorld.
• en Chris Caldwell, The Top Twenty: Wagstaff la Prime Pages.
• en Renaud Lifchitz, "An efficient probable prime test for numbers of the form (2^p + 1)/3".
• en Tony Reix, "Three conjectures about primality testing for Mersenne, Wagstaff and Fermat numbers based on cycles of the Digraph under x² − 2 modulo a prime".
• en List of repunits in base -50 to 50
• en List of Wagstaff primes base 2 to 160