Problema piesei de cinci lei
Problema piesei de cinci lei este o teoremă remarcabilă din geometria plană, descoperită de Gheorghe Țițeica în timp ce desena cercuri cu o monedă de 5 lei (de unde și numele acesteia).
Teoremă. Trei cercuri având razele egale se intersectează într-un punct. Luându-se două câte două, se obțin încă trei puncte de intersecție. Cercul determinat de aceste trei puncte are raza egală cu raza cercurilor date.
Demonstrație. Se consideră un triunghi ABC. Fie respectiv cercul înscris, respectiv cercul circumscris triunghiului ABC. Se consideră inversiunea Cercul se va transforma prin i tot într-un cerc.
Fie punctele de intersecție ale bisectoarelor cu cercul Folosind puterea punctului I față de cercul rezultă relațiile:
de unde
Aceste trei egalități arată că:
Dreapta BC (care nu trece prin polul de inversiune I) se va transforma prin i într-un cerc care trece prin punctele astfel încât tangenta în I la acest cerc este paralelă cu BC. Fie D punctul de contact al cercului înscris cu latura [BC]. Deoarece rezultă că va fi punctul diametral opus lui I în cercul circumscris triunghiului Atunci:
Dacă se notează cu lungimea diametrului atunci, ultima egalitate se scrie:
![{\displaystyle [ID'],\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518e9549b2b1e0313e41d612cd7f7d67481965c2)
Din această egalitate și din egalitatea lui Euler în triunghiul ABC se obține:
