Pseudosferă

suprafață geometrică

În geometrie o pseudosferă este o suprafață cu curbură gaussiană⁠(d) negativă constantă.

O pseudosferă cu raza R este o suprafață în având curbura în fiecare punct. Numele său provine din analogia cu sfera de rază R, care este o suprafață cu curbura . Termenul a fost introdus de Eugenio Beltrami în lucrarea sa din 1868 despre modelele de geometrie hiperbolică.[1]

Tractricoid

modificare
 
Tractricoid

Aceeași suprafață poate fi descrisă ca rezultat al rotației unei tractrice⁠(d) în jurul asimptotei sale. Din acest motiv pseudosfera se mai numește și tractricoid. De exemplu, jumătate de pseudosferă (cu raza 1) este suprafața de revoluție a tractricei parametrizată de[2]

 

Este un spațiu singular (ecuatorul este o singularitate), dar, spre deosebire de singularități, are curbura gaussiană negativă constantă și, prin urmare, este local izometric cu planul hiperbolic.

Denumirea de „pseudosferă” vine de la faptul că este o suprafață bidimensională cu curbura gaussiană negativă constantă, la fel cum o sferă este o suprafață cu curbură gaussiană pozitivă constantă. Așa cum sfera are în fiecare punct geometria curbă a unui dom, pseudosfera are în fiecare punct geometria curbă a unei șei.

Încă din 1693 Christiaan Huygens a descoperit că aria suprafeței pseudosferei și volumul delimitat de ea sunt finite,[3] chiar dacă forma se extinde la infinit de-a lungul axei de rotație. Pentru o rază dată R a ecuatorului, aria este R2 la fel ca pentru sferă, în timp ce volumul este 2/3πR3, adică jumătate din aceea a unei sfere cu aceeași rază.[4][5]

Spatiul de acoperire universal

modificare
 
Pseudosfera și relația ei cu alte trei modele de geometrie hiperbolică: modelul semiplanului Poincaré⁠(d), modelul discului Poincaré și modelul Beltrami–Klein⁠(d)

Jumătatea pseudosferei de curbură −1 este acoperită de interiorul unui oriciclu. În modelul semiplanului Poincaré⁠(d) o alegere convenabilă este porțiunea semiplanului cu y ≥ 1.[6] Atunci funcția de acoperire este periodică în direcția x cu perioada și aplică oriciclele y = c pe meridianele pseudosferei și geodezicele verticale x = c pe tractricele care generează pseudosfera. Această aplicare este o izometrie locală, prin urmare prezintă porțiunea y ≥ 1 a semiplanului superior ca spațiul de acoperire⁠(d) universal al pseudosferei. Funcția exactă este

 

unde

 

este parametrizarea tractricei de mai sus.

Hiperboloid

modificare

În unele surse care utilizează modelul hiperboloidului⁠(d) pentru planul hiperbolic, hiperboloidul este denumit „pseudosferă”.[7] Această utilizare a cuvântului se datorează faptului că hiperboloidul poate fi gândit ca o sferă de rază imaginară, încorporat într-un spațiu Minkowski.

  1. ^ it Beltrami, Eugenio (). „Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea”. Gior. Mat. 6: 248–312. 
    (Sau și în it Beltrami, Eugenio. Opere Matematiche. 1. pp. 374–405. ISBN 1-4181-8434-9. , sau în fr Beltrami, Eugenio (). „Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne”. Annales de l'École Normale Supérieure. 6: 251–288. Arhivat din original la . Accesat în . )
  2. ^ en Bonahon, Francis (). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. p. 108. ISBN 0-8218-4816-X. , Chapter 5, page 108
  3. ^ en Stillwell, John (). Mathematics and Its History (ed. revised, 3rd). Springer Science & Business Media. p. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8. , extract of page 345
  4. ^ en Le Lionnais, F. (). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (ed. 2). Courier Dover Publications. p. 154. ISBN 0-486-49579-5. , Chapter 40, page 154
  5. ^ en Eric W. Weisstein, Pseudosphere la MathWorld.
  6. ^ en Thurston, William, Three-dimensional geometry and topology, 1, Princeton University Press, p. 62 .
  7. ^ en Hasanov, Elman (), „A new theory of complex rays”, IMA J. Appl. Math., 69: 521–537, doi:10.1093/imamat/69.6.521, ISSN 1464-3634, arhivat din original la  

Bibliografie

modificare
  • en Stillwell, J. (). Sources of Hyperbolic Geometry. Amer. Math. Soc & London Math. Soc. 
  • en Henderson, D. W.; Taimina, Diana (). „Experiencing Geometry: Euclidean and Non-Euclidean with History”. Aesthetics and Mathematics (PDF). Springer-Verlag. 
  • en Kasner, Edward; Newman, James (). Mathematics and the Imagination. Simon & Schuster. p. 140, 145, 155. 

Vezi și

modificare

Legături externe

modificare