Pseudosferă

În geometrie o pseudosferă este o suprafață cu curbură gaussiană^⁠(d) negativă constantă.

O pseudosferă cu raza $R$ este o suprafață în $\mathbb {R} ^{3}$ având curbura $-1/R^{2}$ în fiecare punct. Numele său provine din analogia cu sfera de rază $R$ , care este o suprafață cu curbura $1/R^{2}$ . Termenul a fost introdus de Eugenio Beltrami în lucrarea sa din 1868 despre modelele de geometrie hiperbolică.^[1]

Tractricoid

Aceeași suprafață poate fi descrisă ca rezultat al rotației unei tractrice^⁠(d) în jurul asimptotei sale. Din acest motiv pseudosfera se mai numește și tractricoid. De exemplu, jumătate de pseudosferă (cu raza 1) este suprafața de revoluție a tractricei parametrizată de^[2]

t\mapsto \left(t-\tanh {t},\operatorname {sech} \,{t}\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .

Este un spațiu singular (ecuatorul este o singularitate), dar, spre deosebire de singularități, are curbura gaussiană negativă constantă și, prin urmare, este local izometric cu planul hiperbolic.

Denumirea de „pseudosferă” vine de la faptul că este o suprafață bidimensională cu curbura gaussiană negativă constantă, la fel cum o sferă este o suprafață cu curbură gaussiană pozitivă constantă. Așa cum sfera are în fiecare punct geometria curbă a unui dom, pseudosfera are în fiecare punct geometria curbă a unei șei.

Încă din 1693 Christiaan Huygens a descoperit că aria suprafeței pseudosferei și volumul delimitat de ea sunt finite,^[3] chiar dacă forma se extinde la infinit de-a lungul axei de rotație. Pentru o rază dată $R$ a ecuatorului, aria este $4π R 2$ la fel ca pentru sferă, în timp ce volumul este $2 / 3 π R 3$ , adică jumătate din aceea a unei sfere cu aceeași rază.^[4]^[5]

Spatiul de acoperire universal

Pseudosfera și relația ei cu alte trei modele de geometrie hiperbolică: modelul semiplanului Poincaré^⁠(d), modelul discului Poincaré și modelul Beltrami–Klein^⁠(d)

Jumătatea pseudosferei de curbură $-1$ este acoperită de interiorul unui oriciclu. În modelul semiplanului Poincaré^⁠(d) o alegere convenabilă este porțiunea semiplanului cu $y \geq 1$ .^[6] Atunci funcția de acoperire este periodică în direcția $x$ cu perioada $2π$ și aplică oriciclele $y = c$ pe meridianele pseudosferei și geodezicele verticale $x = c$ pe tractricele care generează pseudosfera. Această aplicare este o izometrie locală, prin urmare prezintă porțiunea $y \geq 1$ a semiplanului superior ca spațiul de acoperire^⁠(d) universal al pseudosferei. Funcția exactă este

(x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )}

unde

t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}

este parametrizarea tractricei de mai sus.

Hiperboloid

În unele surse care utilizează modelul hiperboloidului^⁠(d) pentru planul hiperbolic, hiperboloidul este denumit „pseudosferă”.^[7] Această utilizare a cuvântului se datorează faptului că hiperboloidul poate fi gândit ca o sferă de rază imaginară, încorporat într-un spațiu Minkowski.

Note

^ it Beltrami, Eugenio (1868). „Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea”. Gior. Mat. 6: 248–312.
(Sau și în it Beltrami, Eugenio. Opere Matematiche. 1. pp. 374–405. ISBN 1-4181-8434-9. , sau în fr Beltrami, Eugenio (1869). „Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne”. Annales de l'École Normale Supérieure. 6: 251–288. Arhivat din original la 2 februarie 2016. Accesat în 24 iulie 2010. )
^ en Bonahon, Francis (2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. p. 108. ISBN 0-8218-4816-X. , Chapter 5, page 108
^ en Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History (ed. revised, 3rd). Springer Science & Business Media. p. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8. , extract of page 345
^ en Le Lionnais, F. (2004). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (ed. 2). Courier Dover Publications. p. 154. ISBN 0-486-49579-5. , Chapter 40, page 154
^ en Eric W. Weisstein, Pseudosphere la MathWorld.
^ en Thurston, William, Three-dimensional geometry and topology, 1, Princeton University Press, p. 62 .
^ en Hasanov, Elman (2004), „A new theory of complex rays”, IMA J. Appl. Math., 69: 521–537, doi:10.1093/imamat/69.6.521, ISSN 1464-3634, arhivat din original la 15 aprilie 2013

Bibliografie

en Stillwell, J. (1996). Sources of Hyperbolic Geometry. Amer. Math. Soc & London Math. Soc.
en Henderson, D. W.; Taimina, Diana (2006). „Experiencing Geometry: Euclidean and Non-Euclidean with History”. Aesthetics and Mathematics (PDF). Springer-Verlag.
en Kasner, Edward; Newman, James (1940). Mathematics and the Imagination. Simon & Schuster. p. 140, 145, 155.

Vezi și

Legături externe

Portal Matematică

en Non Euclid
en Crocheting the Hyperbolic Plane: An Interview with David Henderson and Daina Taimina
en Norman Wildberger lecture 16, History of Mathematics, University of New South Wales. YouTube. 2012 May.
en Pseudospherical surfaces at the virtual math museum.

[1] t Beltrami, Eugenio (1868). „Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea”. Gior. Mat. 6: 248–312.
(Sau și în it Beltrami, Eugenio. Opere Matematiche. 1. pp. 374–405. ISBN 1-4181-8434-9. , sau în fr Beltrami, Eugenio (1869). „Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne”. Annales de l'École Normale Supérieure. 6: 251–288. Arhivat din original la 2 februarie 2016. Accesat în 24 iulie 2010. )

[2] Bonahon, Francis (2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. p. 108. ISBN 0-8218-4816-X. , Chapter 5, page 108

[3] Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History (ed. revised, 3rd). Springer Science & Business Media. p. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8. , extract of page 345

[4] Le Lionnais, F. (2004). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (ed. 2). Courier Dover Publications. p. 154. ISBN 0-486-49579-5. , Chapter 40, page 154

[5] Eric W. Weisstein, Pseudosphere la MathWorld.

[6] Thurston, William, Three-dimensional geometry and topology, 1, Princeton University Press, p. 62 .

[7] Hasanov, Elman (2004), „A new theory of complex rays”, IMA J. Appl. Math., 69: 521–537, doi:10.1093/imamat/69.6.521, ISSN 1464-3634, arhivat din original la 15 aprilie 2013

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]