În matematică, un punct șa (în engleză saddle point) al unei funcții f definite pe un produs cartezian X × Y a două mulțimi X și Y este un punct în așa fel încât:

  • atinge un maxim în pe Y;
  • iar atinge un minim în pe X.
Punctul în roșu al graficului funcției asociat unicului punct șa al său (0;0).

Unii autori inversează maximele și minimele ( cu un minim în și cu un maxim în ), dar aceasta nu schimbă cantitativ rezultatele (se poate reveni la cazul prezent prin schimbare de variabile).

Termenul punct șa se referă la forma de șa de cal pe care o ia graficul funcției când X și Y sunt intervale din . În terminologia din limba franceză se utilizează denumirea de punct trecătoare, cu referire la imaginea unei trecători din munte.

Într-o dimensiune, un punct șa este un punct de inflexiune care este și punct staționar.

Mai general, un punct șa pentru o funcție este un punct critic în vecinătatea căreia curba nu se află doar pe o parte a hiperplanului tangent.

Noțiunea de punct șa intervine:

DefinițieModificare

Iată o definiție destul de generală a noțiunii de punct șa a unei funcții definite pe un produs cartezian de mulțimi. Nicio structură nu este cerută pe aceste mulțimi. Funcția trebuie din contra să-și ia valorile în mulțimea numerelor reale   (sau mai general în dreapta reală încheiată  ).

Teoremă
Punct șa
Fie X și Y două mulțimi și   o funcție care poate lua valorile  . Se spune că   este un punct-șa al f pe X × Y dacă

 

În condițiile de mai sus,   este numită valoarea șa a f.

Altfel spus,   atinge un maximum în   pe Y și   atinge un minimum în   pe X. Nimic nu este cerut în afara crucii  , astfel încât imaginea șeii să poată fi înșelătoare ca atunci când   este definită de f(x,y)=x2y2 (toate punctele de pe axele de ordonate sunt puncte șa).

Referințe și noteModificare

  • en Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H; Fristedt, Bert (), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, p. 375, ISBN 0-387-97388-5 
  • en Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (), Geometry and the Imagination (ed. 2nd), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 
  • en von Petersdorff, Tobias (), „Critical Points of Autonomous Systems”, Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes) 
  • en Widder, D. V. (), Advanced calculus, New York: Dover Publications, p. 128, ISBN 0-486-66103-2 
  • en Agarwal, A., Study on the Nash Equilibrium (Lecture Notes) 

BibliografieModificare

Legături externeModificare

  Materiale media legate de Punct șa la Wikimedia Commons