Rest (matematică)

În aritmetică și algebră, restul de la împărțirea a două numere întregi este un număr care este nenul când împărțitorul nu se cuprinde exact (printr-un cât întreg) în deîmpărțit.

Restul pentru numerele naturale

Daca a și d sunt numere naturale și $d$ este diferit de zero, se poate demonstra că există numerele naturale unice $q$ și $r$, astfel încât $a=q\times d+r$ și $0\leq r<d$. Numărul $q$ poartă denumirea de cât, iar $r$ cea de rest.

Exemple

• Când 13 se împarte la 10, câtul este 1 și restul este 3, pentru că $13=1\times 10+3$.
• Când 26 se împarte la 4, câtul este 6 și restul este 2, pentru că $26=6\times 4+2$.
• Când 56 se împarte la 7, câtul este 8 și restul este 0, pentru că $56=7\times 8+0$.
• Când 3 se împarte la 10, restul este 3, deoarece atunci când împărțitorul este mai mare decat deîmpărțitul, restul este egal cu deîmpărțitul.

Restul pentru numerele întregi

Dacă a și d sunt numere întregi și d este diferit de zero, atunci restul este un număr întreg, astfel încât $a=q\cdot d+r$ pentru un număr întreg $q$ și $0\leq |r|<|d|$. Când se definește în acest fel, există două resturi posibile. Spre exemplu, împărțirea numărului −42 la −5 se poate exprima ca

$-42=9\times (-5)+3$

reprezentarea preferată de matematicieni, sau

$-42=8\times (-5)+(-2)$

Deci restul este 3 sau −2. Această ambiguitate poate fi o problemă serioasă pentru sistemele de calcul cu importanță majoră, unde alegerea incorectă poate avea consecințe importante. În cazul de mai sus, restul negativ se obține din cel pozitiv, scăzând 5, adică d. La împărțirea cu d, dacă restul pozitiv este $r_{1}$ și cel negativ este $r_{2}$, atunci

$r_{1}=r_{2}+d$

Restul pentru numerele reale

Dacă a și d sunt numere reale și d este diferit de zero, a poate fi împărțit la d fără rest, câtul fiind un număr real. Dacă acesta trebuie să fie un număr întreg, restul este necesar. Se poate demonstra că există un cât întreg unic q și un rest real unic r, astfel încât $a=q\times d+r$, cu $0\leq r<|d|$. Ca în cazul împărțirii cu numere întregi, restul poate fi negativ: $-|d|<r\leq 0$.

Extinderea definiției restului pentru numere reale nu are o importanță teoretică în matematică, dar multe limbaje de programare implementează această definiție.

Inegalitatea satisfacută de rest

Prin modul în care a fost definit restul, pe lângă egalitatea $a=q\times d+r$, a fost impusă și o inegalitate, scrisă ca $0\leq r<|d|$ sau $-|d|<r\leq 0$. Această inegalitate este necesară pentru ca restul să fie unic. Alegerea unei astfel de inegalități este relativ arbitrară. Orice condiție de forma $x<r\leq x+|d|$ (sau $x\leq r<x+|d|$), unde x este o constantă, este suficientă pentru a garanta unicitatea restului.

Identitatea restului la împărțirea cu un număr

Două numere întregi pot avea același rest la împărțirea cu un al treilea număr. Aceste numere se numesc congruențe modulo.

Câtul și restul în limbaje de programare

Având o alegere între două resturi diferite, unul negativ și celălalt pozitiv, înseamnă că sunt și două câturi diferite. În teoria numerelor, se alege întotdeauna restul pozitiv, dar nu și în limbajele de programare. C99 și Pascal aleg restul cu același semn ca deîmpărțitul a. (Înainte de C99, limbajul C permitea ambele posibilități) Perl și Python aleg restul cu același semn ca împărțitorul d.

Vezi și

• Teorema împărțirii cu rest
• Modulo
• Principiul lui Dirichlet

Legături externe

• Davenport, Harold (1999). The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 25. ISBN 0-521-63446-6. 
• Zuckerman, Martin M. Arithmetic: A Straightforward Approach. Lanham, Md: Rowman & Littlefield Publishers, Inc. ISBN 0-912675-07-1.